Integrale interessante.
salve, volevo porre all'attenzione un esercizio...
nell'ultimo compito è uscito un integrale del genere: $int (x+x^3)/(1+x^4) dx $
senza il metodo canonico dei fratti semplici...come è possibile risolverlo .... ?
abbozzo un primo passaggio $ int (x+x^3)/[1+(x^2)^2]$ ...
....
nell'ultimo compito è uscito un integrale del genere: $int (x+x^3)/(1+x^4) dx $
senza il metodo canonico dei fratti semplici...come è possibile risolverlo .... ?
abbozzo un primo passaggio $ int (x+x^3)/[1+(x^2)^2]$ ...
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Risposte
Scrivere la funzione integranda nel modo che dici, non conviene in quel punto dell'esercizio.
Quell'integrale si risolve, facilmente, "spezzando" il numeratore della funzione integranda in questo modo (ti scrivo i passaggi risolutivi perché so' che hai provato a risolverlo,via MP):
[tex]$\int \frac{x+x^3}{1+x^4} dx = \int \frac{x}{1+x^4} dx + \int \frac{x^3}{1+x^4} dx$[/tex]
I due integrali ottenuti sono riconducibili,entrambi, a integrali immediati:
Il primo:
[tex]$\int \frac{x}{1+x^4} = \int \frac{x}{1+(x^2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+(x^2)^2} dx = \frac{1}{2} arctan x^2 + C $[/tex]
Il secondo:
[tex]$\int \frac{x^3}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^3}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} ln (1+x^4) + C$[/tex]
Quindi la soluzione finale è data dalla somma delle due primitive trovate:
[tex]$\frac{1}{2} arctan x^2 + \frac{1}{4} ln (1+x^4) + C$[/tex]
____________________________
SOLUZIONE 2:
Un'altra metodo, un po' più scomodo (e lungo) per risolvere quell'integrale è Hermite.
Quell'integrale si risolve, facilmente, "spezzando" il numeratore della funzione integranda in questo modo (ti scrivo i passaggi risolutivi perché so' che hai provato a risolverlo,via MP):
[tex]$\int \frac{x+x^3}{1+x^4} dx = \int \frac{x}{1+x^4} dx + \int \frac{x^3}{1+x^4} dx$[/tex]
I due integrali ottenuti sono riconducibili,entrambi, a integrali immediati:
Il primo:
[tex]$\int \frac{x}{1+x^4} = \int \frac{x}{1+(x^2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+(x^2)^2} dx = \frac{1}{2} arctan x^2 + C $[/tex]
Il secondo:
[tex]$\int \frac{x^3}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^3}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} ln (1+x^4) + C$[/tex]
Quindi la soluzione finale è data dalla somma delle due primitive trovate:
[tex]$\frac{1}{2} arctan x^2 + \frac{1}{4} ln (1+x^4) + C$[/tex]
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SOLUZIONE 2:
Un'altra metodo, un po' più scomodo (e lungo) per risolvere quell'integrale è Hermite.
"Mathcrazy":
Scrivere la funzione integranda nel modo che dici, non conviene in quel punto dell'esercizio.
Quell'integrale si risolve, facilmente, "spezzando" il numeratore della funzione integranda in questo modo (ti scrivo i passaggi risolutivi perché so' che hai provato a risolverlo,via MP):
[tex]$\int \frac{x+x^3}{1+x^4} dx = \int \frac{x}{1+x^4} dx + \int \frac{x^3}{1+x^4} dx$[/tex]
I due integrali ottenuti sono riconducibili,entrambi, a integrali immediati:
Il primo:
[tex]$\int \frac{x}{1+x^4} = \int \frac{x}{1+(x^2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+(x^2)^2} dx = \frac{1}{2} arctan x^2 + C $[/tex]
Il secondo:
[tex]$\int \frac{x^3}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^3}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} ln (1+x^4) + C$[/tex]
Quindi la soluzione finale è data dalla somma delle due primitive trovate:
[tex]$\frac{1}{2} arctan x^2 + \frac{1}{4} ln (1+x^4) + C$[/tex]
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SOLUZIONE 2:
Un'altra metodo, un po' più scomodo (e lungo) per risolvere quell'integrale è Hermite.
accipicchia, era più semplice del previsto.... con la semplice decomposizione dell'integrale.
di solito ho "l'abitudine" di agire sulle funzioni e dopo sulla "forma" dell'integrale...
chiarissimo Math . thankx.
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