Integrale $ int (x/(x^2 + 4x +3)) $
Ciao a tutti 
Devo calcolare questo integrale
$ int (x/(x^2 + 4x +3)) $
Nel svolgerlo ho usato il "metodo dei fratti semplici", ottenendo come coefficienti a numeratore
$ A = - 1/2
, B = 1/2 $
Quando risulta che debbano essere
$ A = - 1/2
, B = 3/2 $
Alla fine il risultato che ottengo è
$ 1/2 ln|x^2 + 4x + 3| - 1/2 ln|x + 3| + 1/2|x + 1| $
Quando la soluzione sembra essere
$ - 1/2 ln|x+1| + 3/2 ln|x+3| + c $
Non applico subito il "metodo dei fratti semplici", ma prima costruisco a numeratore la derivata del denominatore, ottenendo
$ 1/2 ln|x^2 + 4x + 3| $,
che nella soluzione sembra non esserci del tutto.
Dove sbaglio?
Devo calcolare questo integrale
$ int (x/(x^2 + 4x +3)) $
Nel svolgerlo ho usato il "metodo dei fratti semplici", ottenendo come coefficienti a numeratore
$ A = - 1/2
, B = 1/2 $
Quando risulta che debbano essere
$ A = - 1/2
, B = 3/2 $
Alla fine il risultato che ottengo è
$ 1/2 ln|x^2 + 4x + 3| - 1/2 ln|x + 3| + 1/2|x + 1| $
Quando la soluzione sembra essere
$ - 1/2 ln|x+1| + 3/2 ln|x+3| + c $
Non applico subito il "metodo dei fratti semplici", ma prima costruisco a numeratore la derivata del denominatore, ottenendo
$ 1/2 ln|x^2 + 4x + 3| $,
che nella soluzione sembra non esserci del tutto.
Dove sbaglio?
Risposte
Mostra i calcoli che hai fatto col metodo dei fratti semplici ...
Come hai notato sbagli nella decomposizione in fratti semplici. Se hai intenzione di decomporre questo
lo devi evitare anche perchè ti complica i calcoli e non è necessario..Dunque, vediamo un pò. Possiamo scrivere :
Pertanto inizia a decomporre bene come :
Fatto questo puoi spezzare l'integrale in due parti, il resto è banale
"AddUp":
Non applico subito il "metodo dei fratti semplici", ma prima costruisco a numeratore la derivata del denominatore
lo devi evitare anche perchè ti complica i calcoli e non è necessario..Dunque, vediamo un pò. Possiamo scrivere :
\(\displaystyle x^2+4x+3 = (x+3)(x+1) \)
Pertanto inizia a decomporre bene come :
\(\displaystyle \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+1} \)
Fatto questo puoi spezzare l'integrale in due parti, il resto è banale
Grazie! 
Mi è uscito. Non capisco però come il primo passaggio, per quanto non necessario in quanto allunga i calcoli, mi impedisca di arrivare al risultato. È probabile che abbia appunto sbagliato i calcoli, oppure semplicemente se non si applica subito il "metodo dei fratti semplici" il risultato viene sbagliato?
Mi è uscito. Non capisco però come il primo passaggio, per quanto non necessario in quanto allunga i calcoli, mi impedisca di arrivare al risultato. È probabile che abbia appunto sbagliato i calcoli, oppure semplicemente se non si applica subito il "metodo dei fratti semplici" il risultato viene sbagliato?
In realtà non c'è nulla di sbagliato nel procedere come hai fatto tu; anzi, lo trovo anche più elegante di usare i fratti semplici. In questo modo, non bisogna usarli per niente (bisogna però conoscere un minimo di funzioni iperboliche):
\[ \begin{aligned} \int \frac{ x}{x^2 + 4x + 3} \; \text{d} x &= \int \left ( \frac{1}{2} \frac{2x + 4}{ x^2 + 4x + 3} - \frac{2}{ x^2 + 4x + 3} \right ) \; \text{d} x \\ &= \frac{1}{2} \ln \left | x^2+ 4x + 3 \right | + 2 \int \frac{1}{ 1 - (x + 2)^2} \; \text{d} x + c \\ &= \frac{1}{2} \ln \left | x^2+ 4x + 3 \right | + 2 \; \text{artanh} \; ( x + 2 ) + c \\ &= \frac{1}{2} \ln \left | x^2+ 4x + 3 \right | + \ln \left | \frac{ x + 3}{x + 1} \right | + c \\ &= \frac{1}{2} \ln | x + 1| + \frac{1}{2} \ln | x + 3| + \ln |x + 3| - \ln | x +1| + c \\ &= \frac{3}{2} \ln |x + 3 | - \frac{1}{2} \ln | x +1 | + c, \quad c \in \mathbb{R} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \int \frac{ x}{x^2 + 4x + 3} \; \text{d} x &= \int \left ( \frac{1}{2} \frac{2x + 4}{ x^2 + 4x + 3} - \frac{2}{ x^2 + 4x + 3} \right ) \; \text{d} x \\ &= \frac{1}{2} \ln \left | x^2+ 4x + 3 \right | + 2 \int \frac{1}{ 1 - (x + 2)^2} \; \text{d} x + c \\ &= \frac{1}{2} \ln \left | x^2+ 4x + 3 \right | + 2 \; \text{artanh} \; ( x + 2 ) + c \\ &= \frac{1}{2} \ln \left | x^2+ 4x + 3 \right | + \ln \left | \frac{ x + 3}{x + 1} \right | + c \\ &= \frac{1}{2} \ln | x + 1| + \frac{1}{2} \ln | x + 3| + \ln |x + 3| - \ln | x +1| + c \\ &= \frac{3}{2} \ln |x + 3 | - \frac{1}{2} \ln | x +1 | + c, \quad c \in \mathbb{R} \end{aligned} \]
Grazie Berationalgetreal
Si in effetti mi veniva a pensarci bene. Non mi rendevo conto che potevo spezzare in due il logaritmo con l'argomento al quadrato; facendolo mi sarebbe uscito giusto (credo).
Si in effetti mi veniva a pensarci bene. Non mi rendevo conto che potevo spezzare in due il logaritmo con l'argomento al quadrato; facendolo mi sarebbe uscito giusto (credo).
"Berationalgetreal":
In realtà non c'è nulla di sbagliato nel procedere come hai fatto tu
in riferimento a questo
"AddUp":
Nel svolgerlo ho usato il "metodo dei fratti semplici" [...] Non applico subito il "metodo dei fratti semplici", ma prima costruisco a numeratore la derivata del denominatore [...]
credo che lo sbaglio ci sia. Se si applicano i fratti semplici si va diretti con quel metodo, se si preferisce "costruire" la derivata per far apparire un integrale notevole si può fare anche così ma dal mio punto di vista mischiarli rende le cose più complicate.
Rendere più complicato \( \neq \) sbagliare, a meno che l'esercizio non abbia scopi prettamente pratici. Inoltre, non è detto che il procedimento più meccanico sia il più facile; in questo caso, i due metodi sono equivalenti, non vedo il perché si dovrebbe preferire l'uno all'altro. Poi vabbè, ognuno è libero di pensarla come vuole 
Sinceramente il tuo metodo è bello ma è una strada più complicata e prevede un certo occhio, metodo che senz'altro gratifica "gli appassionati" ma per i principianti ... mmm ... i "fratti semplici" è un metodo meccanico, non difficile da applicare e direi fatto apposta per questo tipo di integrali ... IMHO
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