Integrale $ int x^3/((x+4)(x^2+1)) $

[gianpaolocaforio]

Buonasera, stavo provando a risolvere una traccia d'esame ma senza successo. Qualcuno mi potrebbe dire dov'è l'errore e come risolvere più facilmente l'integrale?
$ int x^3/((x+4)(x^2+1)) dx $
ho iniziato con vari passaggi algebrici, sommando e sottraendo $1$
$ int( x^3/((x+4)(x^2+1))+1-1) dx$

$ int (x^3-((x+4)(x^2+1)))/((x+4)(x^2+1))dx+int 1 dx $

$ int (x^3-x^3-4x^2-x-4)/((x+4)(x^2+1)) dx + int1 dx $

$ int (-4x^2-x-4)/((x+4)(x^2+1)) dx+int 1dx $

Poi ho portato fuori il meno, raccolto il 4 ed ho di nuovo sommato e sottratto per 4

$ - int (4(x^2+1)+x+4-4)/((x+4)(x^2+1)) dx - int 1 dx$

cosi d'avere

$ - int (4(x^2+1)+x+4)/((x+4)(x^2+1))dx-int (4)/((x+4)(x^2+1)) dx+ int 1 dx $

$ - int (4(x^2+1))/((x+4)(x^2+1)) dx + int (x+4)/((x+4)(x^2+1))dx- int (4)/((x+4)(x^2+1)) dx+ int 1 dx $

e sono arrivato ad avere

$ - 4int (1)/((x+4)) dx+ int 1/((x^2+1)) dx -(4)int1/((x+4)(x^2+1)) dx+int1dx $

ed è qui che mi blocco, ho tre integrali immediati(1,2e4), ma non saprei come risolvere
$int 1/((x+4)(x^2+1)) dx $

Mi sono ridotto ad avere lo stesso integrale dell'inizio, meno il termine $x^3$, ma è probabile che ho fatto un inutile e lungo calcolo

[Mephlip]

"Giancaf":
$ int (-4x^2-x-4)/((x+4)(x^2+1))+1 $

Poi ho portato fuori il meno, raccolto il 4 ed ho di nuovo sommato e sottratto per 4

$ - int (4(x^2+1)+x+4-4)/((x+4)(x^2+1))+1 $

C'è un errore qui, quel $+1$ è dentro l'integrale e quindi se porti fuori il meno devi portarlo fuori per entrambi i fattori. Ossia:
$$\int \left(\frac{-4x^2-x-4}{(x+4)(x^2+1)}+1\right)\text{d}x=-\int \left(\frac{4x^2+x+4}{(x+4)(x^2+1)}-1\right)\text{d}x$$
Non ho controllato il seguito dopo aver trovato questo errore, quindi dovresti riprovare a calcolare l'integrale correggendo quel passaggio e vedere se ora ti viene. Due suggerimenti: metti il $\text{d}x$ e metti le parentesi come ho fatto io, altrimenti si potrebbe fare confusione con cosa è sotto il segno di integrale e cosa non lo è.

[gianpaolocaforio]

"Mephlip":
metti il $\text{d}x$ e metti le parentesi come ho fatto io, altrimenti si potrebbe fare confusione con cosa è sotto il segno di integrale e cosa non lo è.

Ho aggiustato la traccia e svolgimento, penso sia più chiara ora

[Mephlip]

Sì, grazie, è più chiaro.

Però, rimane un errore simile: qui

"Giancaf":
$ int (-4x^2-x-4)/((x+4)(x^2+1)) dx+int 1dx $

Poi ho portato fuori il meno, raccolto il 4 ed ho di nuovo sommato e sottratto per 4

$ - int (4(x^2+1)+x+4-4)/((x+4)(x^2+1)) dx - int 1 dx$

hai spezzato l'integrale nella somma di due integrali, quindi stavolta il segno meno lo devi portare fuori solo dal primo integrale .

Però, mi sa che è un errore di battitura qui sul forum perché poi riscrivi correttamente $\int 1 \text{d}x$ anziché $-\int 1 \text{d}x$. Quindi, se è solo un errore di battitura, puoi concludere calcolando l'integrale $\int \frac{1}{(x+4)(x^2+1)}\text{d}x$ con la scomposizione in fratti semplici. Devi determinare tre costanti $A,B$ e $C$ tali che:
$$\frac{1}{(x+4)(x^2+1)}=\frac{A}{x+4}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

[gianpaolocaforio]

"Mephlip":puoi concludere calcolando l'integrale $\int \frac{1}{(x+4)(x^2+1)}\text{d}x$ con la scomposizione in fratti semplici. Devi determinare tre costanti $A,B$ e $C$ tali che:
$$\frac{1}{(x+4)(x^2+1)}=\frac{A}{x+4}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

$ - 4int (1)/((x+4)) dx+ int 1/((x^2+1)) dx -(4)int1/((x+4)(x^2+1)) dx+int1dx $
quindi diventa

$ int1/((x+4)(x^2+1)) dx = 1/((x+4)(x^2+1))= (A(x^2+1))/(x+4) + ((x+4)(Bx+C))/(x^2+1) $

$Ax^2+A+Bx^2+4Bx+Cx+4C=1$
risolvendo
$ A=1/17
B=-1/17
C=4/17$

quindi diventa

$1/((x+4)(x^2+1))= (1/17)/(x+4) + ((-1/17)x+(4/17))/(x^2+1)$

$ - 4int (1)/((x+4)) dx+ int 1/((x^2+1)) dx -(4)(1/17int1/((x+4)) dx-1/17int(x-4)/(x^2+1) dx+int1dx $

continuando a dividere l'integrale ottengo
$ - 4int (1)/((x+4)) dx+ int 1/((x^2+1)) dx -(4)(1/17int1/((x+4)) dx-1/17intx/(x^2+1) dx - 4 int 1/(x^2+1) dx)+int1dx $
quindi ottengo:
$ -4log(x+4)+arctgx-4/17log(x+4)+4/17arctgx+16arctgx+x$

[pilloeffe]

Ciao Giancaf,

Direi di no...
Si potrebbe anche procedere eseguendo la divisione fra il polinomio a numeratore $x^3$ e quello di pari grado a denominatore $(x + 4)(x^2 + 1) $, io però per arrivare al punto dove sei arrivato tu farei così:

$\int x^3/((x+4)(x^2+1)) \text{d}x = \int (x^3 + x - x)/((x+4)(x^2+1)) \text{d}x = \int (x(x^2 + 1) - x)/((x+4)(x^2+1)) \text{d}x = $
$ = \int x/(x+4)\text{d}x - \int x/((x+4)(x^2+1))\text{d}x = \int (x + 4 - 4)/(x+4)\text{d}x - \int (x + 4 - 4)/((x+4)(x^2+1))\text{d}x = $
$ = x - 4\int 1/(x + 4) \text{d}x - \int 1/(x^2+1) \text{d}x + 4\int 1/((x+4)(x^2+1)) \text{d}x = $
$ = x - 4ln|x + 4| - arctan x + 4\int 1/((x+4)(x^2+1)) \text{d}x $

A questo punto non resta che scomporre in fratti semplici l'ultimo integrale, e dato che

$ 1/((x+4)(x^2+1)) = (4 - x)/(17(x^2 + 1)) + 1/(17(x + 4)) $

si ha:

$ \int x^3/((x+4)(x^2+1)) \text{d}x = $
$ = x - 4ln|x + 4| - arctan x + 16/17 \int (text{d}x)/(x^2+1) - 2/17\int (2x)/(x^2 + 1) \text{d}x + 4/17 ln|x + 4| =$
$ = x - 64/17 ln|x + 4| - 1/17 arctan x - 2/17 ln(x^2 + 1) + c = $
$ = 1/17[17x - 64ln|x + 4| - arctan x - 2 ln(x^2 + 1)] + c $

[gianpaolocaforio]

"Giancaf":
continuando a dividere l'integrale ottengo
$ - 4int (1)/((x+4)) dx+ int 1/((x^2+1)) dx -(4)(1/17int1/((x+4)) dx-1/17intx/(x^2+1) dx - 4 int 1/(x^2+1) dx)+int1dx $
quindi ottengo:
$ -4log(x+4)+arctgx-4/17log(x+4)+4/17arctgx+16arctgx+x$

Ah, mannaggia ho sbagliato $ 1/17intx/(x^2+1) dx $, scrivendo come risultato $4/17arctgx$ invece di $2/17log(x^2+1)$ . Errore di stanchezza
Però il resto del procedimento è giusto? (anche se più articolato di come ha fatto pilloeffe )

[pilloeffe]

"Giancaf":Però il resto del procedimento è giusto?

No, infatti anche modificando ciò che hai ottenuto

"Giancaf":
$-4log(x+4)+arctgx-4/17log(x+4)+4/17arctgx+16arctgx+x $

scrivendo $2/17log(x^2+1)$ al posto di $4/17 arctgx $ non ti torna il risultato corretto, che è quello che ti ho scritto nel mio post precedente...