Integrale $\int x^2/((x-1)^2(x^2-x+1))$
Ciao potete aiutarmi con questo integrale?
$\int x^2/((x-1)^2(x^2-x+1))$
Ho utilizzato la scomposizione in fratti semplici, ma ottengo questa forma e non riesco ad andare avanti:
$\int x/(x-1)^2 - x/(x^2-x+1)$
L'integrale di
$\int x/(x-1)^2 =log(x-1)^2 + c$
l'ho risolto, ma
$-\int x/(x^2-x+1)$
come si risolve?
Grazie a tutti
$\int x^2/((x-1)^2(x^2-x+1))$
Ho utilizzato la scomposizione in fratti semplici, ma ottengo questa forma e non riesco ad andare avanti:
$\int x/(x-1)^2 - x/(x^2-x+1)$
L'integrale di
$\int x/(x-1)^2 =log(x-1)^2 + c$
l'ho risolto, ma
$-\int x/(x^2-x+1)$
come si risolve?
Grazie a tutti
Risposte
Puoi scrivere:
$x/(x^2-x+1)=1/2*(2x-1)/(x^2-x+1)+1/2*1/(x^2-x+1)=1/2*(2x-1)/(x^2-x+1)+2/3*1/(4/3(x-1/2)^2+1)$
Il primo termine è la derivata di un logaritmo, mentre per il secondo con qualche ulteriore piccolo arrangiamento puoi fare riferimento alla derivata dell'arcotangente
Però ho qualche dubbio sul primo integrale che hai risolto. Prova a derivare.
$x/(x^2-x+1)=1/2*(2x-1)/(x^2-x+1)+1/2*1/(x^2-x+1)=1/2*(2x-1)/(x^2-x+1)+2/3*1/(4/3(x-1/2)^2+1)$
Il primo termine è la derivata di un logaritmo, mentre per il secondo con qualche ulteriore piccolo arrangiamento puoi fare riferimento alla derivata dell'arcotangente
Però ho qualche dubbio sul primo integrale che hai risolto. Prova a derivare.
Ciao ale_kitchen02,
Conviene usare la scomposizione seguente:
$ x^2/((x-1)^2(x^2-x+1)) = - x/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x)/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = - 1/2 (2 x - 1 + 1)/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 1/2 1/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 1/2 1/((x - 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 1/(3/2) 1/(((2x - 1)/\sqrt3)^2 + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 2/3 1/(((2x - 1)/\sqrt3)^2 + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) $
Sicché si ha:
$ \int x^2/((x-1)^2(x^2-x+1)) \text{d}x = $
$ = - 1/2 \int (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) \text{d}x - 2/3 \int (\text{d}x)/(((2x - 1)/\sqrt3)^2 + 1) + \int (\text{d}x)/(x - 1)^2 + \int (\text{d}x)/( x - 1) = $
$ = - 1/2 log(x^2-x+1) - \sqrt3/3 arctan((2x - 1)/\sqrt3) + 1/(1 - x) + log|x - 1| + c $
"ale_kitchen02":
Ho utilizzato la scomposizione in fratti semplici, ma ottengo questa forma e non riesco ad andare avanti: [...]
Conviene usare la scomposizione seguente:
$ x^2/((x-1)^2(x^2-x+1)) = - x/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x)/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = - 1/2 (2 x - 1 + 1)/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 1/2 1/(x^2 - x + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 1/2 1/((x - 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 1/(3/2) 1/(((2x - 1)/\sqrt3)^2 + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) = $
$ = - 1/2 (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) - 2/3 1/(((2x - 1)/\sqrt3)^2 + 1) + 1/(x - 1)^2 + 1/(x - 1) $
Sicché si ha:
$ \int x^2/((x-1)^2(x^2-x+1)) \text{d}x = $
$ = - 1/2 \int (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) \text{d}x - 2/3 \int (\text{d}x)/(((2x - 1)/\sqrt3)^2 + 1) + \int (\text{d}x)/(x - 1)^2 + \int (\text{d}x)/( x - 1) = $
$ = - 1/2 log(x^2-x+1) - \sqrt3/3 arctan((2x - 1)/\sqrt3) + 1/(1 - x) + log|x - 1| + c $
Ciao ale_kitchen02
pilloeffe ti ha postato la soluzione completa, ma vorrei fare un'osservazione, che può venirti utile per esercizi dello stesso tipo.
Come ti avevo scritto l'integrale del termine $x/(x-1)^2$ era errato e l'integrale corretto è quello rappresentato dagli ultimi 2 termini della soluzione.
Questo perché in generale per un termine del tipo $(bx+c)/(x-a)^2$ la scomposizione non è completa, ma deve essere proseguita per scrivere $(bx+c)/(x-a)^2=d/(x-a)+e/(x-a)^2$.
Ad es. nel caso in questione $x/(x-1)^2=1/(x-1)+1/(x-1)^2$ come da scomposizione di pilloeffe.
Il concetto può essere poi esteso facilmente a termini del tipo $1/(x-a)^n$ qualora capitassero.
pilloeffe ti ha postato la soluzione completa, ma vorrei fare un'osservazione, che può venirti utile per esercizi dello stesso tipo.
Come ti avevo scritto l'integrale del termine $x/(x-1)^2$ era errato e l'integrale corretto è quello rappresentato dagli ultimi 2 termini della soluzione.
Questo perché in generale per un termine del tipo $(bx+c)/(x-a)^2$ la scomposizione non è completa, ma deve essere proseguita per scrivere $(bx+c)/(x-a)^2=d/(x-a)+e/(x-a)^2$.
Ad es. nel caso in questione $x/(x-1)^2=1/(x-1)+1/(x-1)^2$ come da scomposizione di pilloeffe.
Il concetto può essere poi esteso facilmente a termini del tipo $1/(x-a)^n$ qualora capitassero.
Nell'ottica di quanto ti ha scritto ingres, per eventuali future integrazioni del genere potresti dare un'occhiata ad esempio qui (ci sono diversi esempi e sono interessanti anche le Notes, le References e gli External links) oppure anche al primo paragrafo di questo scritto di gugo82.
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