Integrale $\int_{-infty}^{0} sqrt(x)/(x^2+4x+3) dx$

[profumo_colorato]

Salve.
Devo svolgere questo integrale:
$\int_{-infty}^{0} sqrt(x)/(x^2+4x+3) dx$
Se gli estremi di integrazione fossero stati $0$ e $+infty$, avrei considerato come dominio la circonferenza tagliata e, applicando il teorema dei residui, avrei risolto facilmente l'integrale.
Ma con questi estremi di integrazione quale dominio dovrei considerare? E poi come dovrei procedere?
Grazie per eventuali risposte!

[totissimus]

Prendo come dominio di integrazione quello grigio della figura. \(C_1,C_2,C-3\) sono circonferenze di raggio \(\epsilon\) centrate rispettivamente in \( -4,-1,0\) mentre la circonferenza esterna è centrata nell'originee ha raggio \(R\). I segmenti \( AB,CD,EF,HG,IL,MN\) giacciono sull'asse delle ascisse. Il cammino di integrazione è \( NABCDEFGILMN\).
L'origine \(0\) è un punto di diramazione della funzione e l'asse reale negativo è la semiretta di diramazione.
L'integrale lungo il cammino deve essere nullo : \( \oint f(z)dz=0\). Poi abbiamo:
\(-\oint_{C_{1}}f(z)dz=2\pi iRes(f,-4)=2\pi i\left(-\frac{2}{3}i\right)=\frac{4}{3}\pi \)
\( -\oint_{C_{2}}f(z)dz=2\pi iRes(f,-1)=2\pi i\left(\frac{1}{3}i\right)=-\frac{2}{3}\pi\)
\( \oint_{C_{3}}f(z)dz=\intop_{\pi}^{-\pi}f(\epsilon e^{i\vartheta})\epsilon ie^{i\vartheta}d\vartheta\) questo integrale tende a zero per \( \epsilon \rightarrow 0\)
Integrando sul bordo superiore abbiamo:
\(\int_{AB}f(z)dz=\int_{-R}^{-4-\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx \)
\( \int_{CD}f(z)dz=\int_{-4+\epsilon}^{-1-\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx\)
\( \int_{EF}f(z)dz=\int_{-1+\epsilon}^{-\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx\)
Quando passiamo al bordo inferiore la radice quadrata cambia segno quindi:
\( \int_{GH}f(z)dz=\int_{-\epsilon}^{-1+\epsilon}\frac{-\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx=\int_{-1-\epsilon}^{-\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx\)
\( \int_{IL}f(z)dz=\int_{-1-\epsilon}^{-4+\epsilon}\frac{-\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx=\int_{-4+\epsilon}^{-1-\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx\)
\( \int_{MN}f(z)dz=\int_{-4+\epsilon}^{-4-\epsilon}\frac{-\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx=\int_{-4-\epsilon}^{-4+\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx\)
L'integrale sulla circonferenza esterna tende a zero per \( R \rightarrow \infty\)
Dopo il passaggio ai limiti rimane:
\( 2\int_{-\infty}^{0}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx-\frac{4}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi=0\)
e quindi:
\( \int_{-\infty}^{0}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+4x+3}dx=\frac{1}{3}\pi\)

Potrei avere commesso errori, dato il caldo torrido!!

[gugo82]

Il problema che vedo io è che quell'integrale lì, rispetto alla variabile reale \(x\), non esiste.

[Newton_1372]

ma è un integrale a una sola variabile...perchè si prende una superficie comeintervalo di integrazione?!