Integrale $int e^(f(x))$

Danying
Salve;

Esiste una formula risolutiva "generale" per l'integrale $int e^(f(x))$ ??

ho incontrato spesso integrali di questo genere che non esistono ed altri che esistono...


come

$int e^(arcsinx) dx$

come potrei risolverlo ?

ho pensato per parti $ 1* e^arcsinx$


arrivo così ad $ x*e^arcsinx- int x *1/(sqrt(1-x^2)) * e^arcsinx dx$

da quì in poi mi sono bloccato, sempre se fino a quì è giusto....

Risposte
Fedecart
In generale non esiste. Ti faccio un esempio: è fatto noto che l'integrale [tex]\displaystyle \int e^{-x^2} dx[/tex], chiamato integrale di Gauss, non ha una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari.

antani2
ha ragione fedecart per il caso in generale, quello proposto da te si risolve banalmente integrando ancora una volta per parti:

$xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

e portando i due integrali identici a primo membro (nell'ultimo infatti si semplificano le due radici):

$inte^(arcsinx)dx=1/2(xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx))$
(+ovviamente la costante arbitraria)

Danying
"antani":
ha ragione fedecart per il caso in generale, quello proposto da te si risolve banalmente integrando ancora una volta per parti:

$xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

e portando i due integrali identici a primo membro (nell'ultimo infatti si semplificano le due radici):

$inte^(arcsinx)dx=1/2(xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx))$
(+ovviamente la costante arbitraria)


semplicissimo direi.


ho capito tutto...

solamente una cosa.. ma $1/2$ da dove viene ?

antani2
dall'aver portato i due integrali da una parte

$inte^(arcsinx)dx=xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

quindi a inistra avresti avuto $2int...,=$...

Danying
"antani":
dall'aver portato i due integrali da una parte

$inte^(arcsinx)dx=xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

quindi a inistra avresti avuto $2int...,=$...


capito;

si ma $2$ e non $1/2$ :smt021 ...

se non erro avevo studiato che una volta fermatoci dopo la comparsa a secondo membro dell'integrale di partenza , si doveva esprimere la soluzione e basta;

non mi ricordo come si chiamava questo "teorema" o corollario dell'integrazione per parti, mi sono perso comunque che in ogni caso come nel suddetto avremmo avuto $2 int ...$

;)

grazie mille

antani2
Ma poi dividendo entrambi i membri per due, è ovvio che all'ultimo membro di destra ti rimane $1/2$! Cosa non ti torna?
Comunque di niente figurati

Danying
"antani":
Ma poi dividendo entrambi i membri per due, è ovvio che all'ultimo membro di destra ti rimane $1/2$! Cosa non ti torna?
Comunque di niente figurati


non mi tornava il motivo per cui bisogna dividere per 2 avendo due integrali uguali al primo membro ....


per tutto ok :smt023

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