Integrale $int e^(f(x))$

[Danying]

Salve;

Esiste una formula risolutiva "generale" per l'integrale $int e^(f(x))$ ??

ho incontrato spesso integrali di questo genere che non esistono ed altri che esistono...


come

$int e^(arcsinx) dx$

come potrei risolverlo ?

ho pensato per parti $ 1* e^arcsinx$


arrivo così ad $ x*e^arcsinx- int x *1/(sqrt(1-x^2)) * e^arcsinx dx$

da quì in poi mi sono bloccato, sempre se fino a quì è giusto....

[Fedecart]

In generale non esiste. Ti faccio un esempio: è fatto noto che l'integrale [tex]\displaystyle \int e^{-x^2} dx[/tex], chiamato integrale di Gauss, non ha una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari.

[antani2]

ha ragione fedecart per il caso in generale, quello proposto da te si risolve banalmente integrando ancora una volta per parti:

$xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

e portando i due integrali identici a primo membro (nell'ultimo infatti si semplificano le due radici):

$inte^(arcsinx)dx=1/2(xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx))$
(+ovviamente la costante arbitraria)

[Danying]

"antani":ha ragione fedecart per il caso in generale, quello proposto da te si risolve banalmente integrando ancora una volta per parti:

$xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

e portando i due integrali identici a primo membro (nell'ultimo infatti si semplificano le due radici):

$inte^(arcsinx)dx=1/2(xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx))$
(+ovviamente la costante arbitraria)

semplicissimo direi.


ho capito tutto...

solamente una cosa.. ma $1/2$ da dove viene ?

[antani2]

dall'aver portato i due integrali da una parte

$inte^(arcsinx)dx=xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

quindi a inistra avresti avuto $2int...,=$...

[Danying]

"antani":dall'aver portato i due integrali da una parte

$inte^(arcsinx)dx=xe^(arcsinx)-intx/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx= xe^(arcsinx)+sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)-intsqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)dx$

quindi a inistra avresti avuto $2int...,=$...

capito;

si ma $2$ e non $1/2$ ...

se non erro avevo studiato che una volta fermatoci dopo la comparsa a secondo membro dell'integrale di partenza , si doveva esprimere la soluzione e basta;

non mi ricordo come si chiamava questo "teorema" o corollario dell'integrazione per parti, mi sono perso comunque che in ogni caso come nel suddetto avremmo avuto $2 int ...$



grazie mille

[antani2]

Ma poi dividendo entrambi i membri per due, è ovvio che all'ultimo membro di destra ti rimane $1/2$! Cosa non ti torna?
Comunque di niente figurati

[Danying]

"antani":Ma poi dividendo entrambi i membri per due, è ovvio che all'ultimo membro di destra ti rimane $1/2$! Cosa non ti torna?
Comunque di niente figurati

non mi tornava il motivo per cui bisogna dividere per 2 avendo due integrali uguali al primo membro ....


per tutto ok