Integrale $ int_( )^( ) e^(2x)/(e^x+1)^3 $

[sisko87]

sto cercando di risolvere questo integrale mi mi sono bloccato in un punto

integrale $ int_( )^( ) e^(2x)/(e^x+1)^3 $

allora ho incominciato a risolverlo per sostituzione ponendo $e^x=t$ quindi $x=ln(t)$ e $dx=1/t dt$ da cui riscrivo l'integrale come:

$int_( )^( ) (t^2)/((t+1)^3)*1/t$ semplificando --> $int_( )^( ) t/((t+1)^3)$

a questo punto mi sono bloccato avevo pensato di scomporre il polinomio con il metodo ABC ma non ci riesco.

[Richard_Dedekind]

Perché no? Cerca costanti [tex]A,B,C\in\mathbb{R}[/tex] tali che
[tex]\displaystyle \frac{t}{(t+1)^3} = \frac{A}{t+1}+\frac{B}{(t+1)^2}+\frac{C}{(t+1)^3}[/tex]

[ciampax]

Se sostituisci [tex]$e^x+1=t$[/tex] risulta ancora più semplice.

[Gost91]

guardiamo se riesco a esserti di aiuto facendo una guida veloce su come si integrano le funzioni razionali:

Ogni qualvolta devi integrare una funzione del tipo:

$f(x)=(P(x))/(Q(x))$

si possono presentare 2 casi:


***Caso $deg(P(x))>=deg(Q(x))$

In questo caso si svolge la divisione, ottenendo

$f(x)=q(x)+(r(x))/(Q(x))$

dove q(x) è la funzione quoziente e r(x) è la funzione resto della divisione.

Quindi il calcolo di $\int f(x)dx$ diviene $\int q(x)dx + \int (r(x))/(Q(x))dx$,

cosa che semplifica la vita.


***Caso $deg(P(x))
si presentano 3 sottocasi distinti:

______________________________________________
**Caso Q(x) possiede soluzioni reali distinte

si riscrive $f(x)$ nella forma: $(P(x))/((x-x_1)(x-x_2))$

dove $x_1,x_2$ sono soluzioni di Q(x).

A questo punto tramite la scomposizione in fratti semplici si ottiene:

$\int f(x)dx=\A\int1/(x-x_1)dx+B\int1/(x-x_2)dx$

Facilmente risolvibile.

______________________________________________
**Caso Q(x) possiede soluzioni reali coincidenti

si riscrive $f(x)$ nella forma: $(P(x))/(x-x_1)^2$

ora si pone $t=x-x_1$ e si ottiene una nuova funzione

$f(t)=(P(t))/t^2$, risultante più semplice da integrare

______________________________________________
**Caso Q(x) possiede soluzioni complesse coniugate

Ci si riporta al caso $1/(1+x^2)$, la cui primitiva

corrisponde a $atanx+c$, effettuando la sostituzione:

$t=x+b/(2a)$, ricordando che Q(x) si presenta nella

forma $ax^2+bx+c$

**********************************************
**********************************************

E adesso parlo proprio del tuo caso:

**Caso $deg(Q(x))=n$ con $n>2$

Si fattorizza Q(x) con fattori del tipo:

$(x-x_0)$ e $(x^2+bx+c)$

Per ogni fattore $(x-x_0)$ si associano n fattori del tipo:

$1/(x-x_0)$, $1/(x-x_0)^2$, ...,$1/(x-x_0)^n$

Per ogni fattore $(x^2+bx+c)$ si associano n fattori del tipo:

$1/(x^2+bx+c)$, $1/(x^2+bx+c)^2$, ..., $1/(x^2+bx+c)^n$

E

$x/(x^2+bx+c)$, $x/(x^2+bx+c)^2$, ..., $x/(x^2+bx+c)^n$

quindi si effettua una combinazione lineare con ogni fattore,

che corrisponderà a $f(x)$.

ESEMPIO:

$f(x)=(x-1)/(x^2(x^2+1))$

Q(x) e già fattorizzato con fattori $(x-0)^2$ e $(x^2+0x+1)$

quindi si associano:

$1/x$, $1/x^2$, $1/(x^2+1)$, $x/(x^2+1)$

la cui combinazione lineare corrisponde a:

$A/x+B/x^2+C/(x^2+1)+(Dx)/(x^2+1)=(A(x)(x^2+1)+B(x^2+1)+C(x^2)+Dx(x^2))/(x^2(x^2+1))$ con $A,B,C,D inRR$

quindi:

$(x-1)/(x^2(x^2+1))=(A(x)(x^2+1)+B(x^2+1)+C(x^2)+Dx(x^2))/(x^2(x^2+1))$

$\Rightarrowx-1=A(x^3+x)+B(x^2+1)+C(x^2)+Dx(x^2)=Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^2+Dx^3$

quindi raggruppando rispetto la x:

$x-1=(A+D)x^3+(B+C)x^2+Ax+B$

che è come dire:

$0x^3+0x^2+1x-1x^0=(A+D)x^3+(B+C)x^2+Ax+Bx^0$

ora si può impostare il sistema:

${(0x^3=(A+D)x^3),(0x^2=(B+C)x^2),(1x=Ax),(-1x^0=B):} \Rightarrow {(0=A+D),(0=B+C),(1=A),(-1=B):} \Rightarrow {(D=-1),(C=1),(A=1),(B=-1):}$

Quindi abbiamo ottenuto che:

$(x-1)/(x^2(x^2+1))=1/x-1/x^2-x/(x^2+1)+1/(x^2+1)$

**********************************************
**********************************************

Quindi il tuo esercizio si termina nel seguente modo:

$\int t/(t+1)^3dt=A\int1/(t+1)dt+B\int1/(t+1)^2dt+C\int1/(t+1)^3dt$

$=Aln(t+1)-B/(t+1)-C/(2(t+1)^2)+c$

Ora ci si ricava il valore di A,B,C:

$t/(t+1)^3=A/(t+1)+B/(t+1)^2+C/(t+1)^3 \Rightarrow t=A(t+1)^2+B(t+1)+C=At^2+2At+A+Bt+B+C=At^2+(2A+B)t+A+B+C$

${(A=0),(2A+B=1),(A+B+C=0):} \Rightarrow {(A=0),(B=1),(C=-1):}$

Quindi si conclude che:

$\int(e^2x)/(e^x+1)^3dx=-1/(e^x+1)+1/(2(e^x+1)^2)+c$

Spero di essere stato di aiuto!!

[Angelo D.1]

che post..

[sisko87]

grazie a tutti per le risposte soprattutto per la guida di Gost, alla fine ho utilizzato il metodo della scomposizione, non lo risordavo bene ma grazie alll'esempio della guida è stato semplice!!!