Integrale $ int_( )^( ) (3+e^x)^(1/2) $

[sisko87]

sto risolvendo questo integrale

$ int_( )^( ) (3+e^x)^(1/2) $, ho provato per parti ponendo:

$f=(3+e^x)^(1/2)$ $f'=(1/2)*e^x(3+e^x)^-(1/2)$

$g=x$ $g'=1$

ottenendo

$ int_( )^( ) x(3+e^x)^(1/2) - 1/2*int_( )^( ) xe^x(3+e^x)^-(1/2)$ e da qui mi sono bloccato, pensato di riutilizzare il metodo per parti ma viene una cosa ancora + complessa almeno che non ho sbagliato.

[Angelo D.1]

Ponendo:

[tex]$\sqrt{3 + e^x} = t$[/tex]

Dovrebbe essere fattibile.

[sisko87]

allora procedendo con la sostituzione che mi hai consigliato:

$(3+e^x)^(1/2)=t$
$x=ln(t^2-3)$
$dx=((2t)/(t^2-3))dt$

quindi l'integrale diviene: $ int_( )^( ) (2t^2)/(t^2-3)$, dividendo numeratore e denominatore ottengo: $ 2*int_( )^( ) dt + 6*int_( )^( ) 1/(t^2-3)dt$

a questo punto da $6*int_( )^( ) 1/(t^2-3)dt$ ottengo $6*(1/3)*int_( )^( ) 1/((t^2/3)-1)dt$ che può essere scritto come $2*int_( )^( ) 1/((t/sqrt(3))^2-1)dt$
poi riscrivo l'integrale come $2*int_( )^( ) 1/((t/(sqrt(3))+1)*(t/(sqrt(3))-1))dt$ che posso risolvere con la scomposizione.
é corretto come procedimento?

[Angelo D.1]

"sisko87":dividendo numeratore e denominatore ottengo: $ 2*int_( )^( ) dt + 6*int_( )^( ) 1/(t^2-3)dt$

Per risolvere;

[tex]$\int \frac{1}{t^2-3} \ dt$[/tex]

Forse sarebbe meglio scomporre la funzione in fratti semplici col metodo che ti hanno spiegato nel thread precedente..

[tex]$\frac{1}{t^2-3} = \frac{A}{t + \sqrt{3}} + \frac{B}{t - \sqrt{3}}$[/tex]

[sisko87]

si si infatti ho usato quel metodo solo ho moltiplicato prima per 1/3 per il resto è uguale a lprocedimento che hai scritto tu

[Angelo D.1]

Ah ecco sì, non avevo letto bene, puoi concludere allora