Integrale $\int_(1/sqrt(1 + x^2))dx$
Ciao ragazzi, da ieri sto sbattendo la testa su questo integrale (magari è una cavolata e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua)
$\int_(1/sqrt(1 + x^2))dx$
Ho trovato la soluzione su internet, ma non riesco ad arrivari coi calcoli. qualche idea?
$\int_(1/sqrt(1 + x^2))dx$
Ho trovato la soluzione su internet, ma non riesco ad arrivari coi calcoli. qualche idea?
Risposte
Mi sembra che questo tipo di integrali si faccia con le funzioni iperboliche, prova a sostituire $x = cosh y = (e^y + e^(-y))/2$, $dx = sinh y dy$ e dimmi se va...
"Michele88":
Ciao ragazzi, da ieri sto sbattendo la testa su questo integrale (magari è una cavolata e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua)
$\int_(1/sqrt(1 + x^2))dx$
Ho trovato la soluzione su internet, ma non riesco ad arrivari coi calcoli. qualche idea?
prova la sostituzione $x=\sinh(t)$
Integrali di questo tipo si risolvono con la sostituzione $x="sinh"y$ da cui $dx="cosh"ydy$,
e ricordando la relazione $"cosh"^2 y - "sinh"^2 y = 1$ l'integrale diventa
$int 1/("cosh" y) "cosh"y dy = y + C = "arcsinh"x + C$, infatti $1/sqrt(1+"sinh"^2x) = 1/sqrt("cosh"^2x) = 1/("cosh"x)$
essendo $"cosh"x > 0 " "AAx in RR$. Ricordando infine la definizione
dell'arcoseno iperbolico (che viene dall'esplicitare $"sinh"y$ e ricavando y in funzione di x dalla posizione $x = "sinh"y$),
essa è, per qualsiasi $x in RR$, $"arcsinh"x:=ln(sqrt(x^2+1)+x)$, e di conseguenza l'integrale di partenza è pari a $ln(sqrt(x^2+1)+x) + C$, C costante reale qualsiasi.
e ricordando la relazione $"cosh"^2 y - "sinh"^2 y = 1$ l'integrale diventa
$int 1/("cosh" y) "cosh"y dy = y + C = "arcsinh"x + C$, infatti $1/sqrt(1+"sinh"^2x) = 1/sqrt("cosh"^2x) = 1/("cosh"x)$
essendo $"cosh"x > 0 " "AAx in RR$. Ricordando infine la definizione
dell'arcoseno iperbolico (che viene dall'esplicitare $"sinh"y$ e ricavando y in funzione di x dalla posizione $x = "sinh"y$),
essa è, per qualsiasi $x in RR$, $"arcsinh"x:=ln(sqrt(x^2+1)+x)$, e di conseguenza l'integrale di partenza è pari a $ln(sqrt(x^2+1)+x) + C$, C costante reale qualsiasi.
Il problema è che io non ho mai studiato funzioni iperboliche.... ho visto che la soluzione non ne contiene e quindi volevo cercare di risolvere l'integrale senza passare dalle funzioni iperboliche... ma + ci provo e meno ci riesco 
Le funzioni iperboliche non sono nulla di che, sono soltanto dei nomi, o meglio dei simboli.
Si indicano con i simboli $sinhx$, $coshx$, $tanhx$ e $"cothx"$, per ogni $x in RR$, le seguenti funzioni:
$sinhx:=(e^x-e^(-x))/2
$coshx:=(e^x+e^(-x))/2
$tanhx:=(sinhx)/(coshx) = (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))
$"coth"x:=1/(tanhx) = (e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))
Il motivo del nome "iperboliche" deriva dal fatto che una parametrizzazione per l'iperbole
di equazione cartesiana $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ è $AAt in RR$:
${(x(t)=acosht),(y(t)=bsinht):}$ dove $sinht$ e $cosht$ sono esattamente le funzioni definite sopra.
Se calcoli la differenza $cosh^2x-sinh^2x$ facendo i conti usando queste definizioni, ottieni 1,
e questo è il motivo per cui sono state battezzate con i nomi di "coseno iperbolico" e "seno iperbolico",
proprio perché si è ottenuta una relazione simile a quella soddisfatta dal seno e dal coseno trigonometrici.
Nulla di mostruoso dunque...
E' come quando il meccanico dei continui si diverte a gasarsi chiamando "tensore d'inerzia"
quella che, rappresentata in una base di $RR^2$, altro non è che una stupidissima matrice 2x2.
Si indicano con i simboli $sinhx$, $coshx$, $tanhx$ e $"cothx"$, per ogni $x in RR$, le seguenti funzioni:
$sinhx:=(e^x-e^(-x))/2
$coshx:=(e^x+e^(-x))/2
$tanhx:=(sinhx)/(coshx) = (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))
$"coth"x:=1/(tanhx) = (e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))
Il motivo del nome "iperboliche" deriva dal fatto che una parametrizzazione per l'iperbole
di equazione cartesiana $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ è $AAt in RR$:
${(x(t)=acosht),(y(t)=bsinht):}$ dove $sinht$ e $cosht$ sono esattamente le funzioni definite sopra.
Se calcoli la differenza $cosh^2x-sinh^2x$ facendo i conti usando queste definizioni, ottieni 1,
e questo è il motivo per cui sono state battezzate con i nomi di "coseno iperbolico" e "seno iperbolico",
proprio perché si è ottenuta una relazione simile a quella soddisfatta dal seno e dal coseno trigonometrici.
Nulla di mostruoso dunque...
E' come quando il meccanico dei continui si diverte a gasarsi chiamando "tensore d'inerzia"
quella che, rappresentata in una base di $RR^2$, altro non è che una stupidissima matrice 2x2.
Ciao Michele 88;
Se proprio sei allergico alle funzioni iperboliche, ti riporto qui un procedimento alternativo:
Poni la radice di (1 +x^2) = t-x ; Elevando entrambi i membri al quadrato ottieni x= (t^2 -1)/2t; da cui x= (t^2 -1)/(2t) e quindi il dx= [(t^2 +1)/(2t^2)] dt; Adesso la radice la puoi sostituire con t-x (sostituendo a x ciò che t sei trovato prima, ovvero: x= (t^2 -1)/2t ); il dx lo puoi sostuire con il dt trovato prima e ottieni, con un po di manipolazioni algebriche, che l integrale è pari a logt +c ; adesso ricordiamoci che t=Radice (1+x^2) + x, e perveniamo allo stesso risultati che FireBall e altri avevano trovato.
Ciao!
Se proprio sei allergico alle funzioni iperboliche, ti riporto qui un procedimento alternativo:
Poni la radice di (1 +x^2) = t-x ; Elevando entrambi i membri al quadrato ottieni x= (t^2 -1)/2t; da cui x= (t^2 -1)/(2t) e quindi il dx= [(t^2 +1)/(2t^2)] dt; Adesso la radice la puoi sostituire con t-x (sostituendo a x ciò che t sei trovato prima, ovvero: x= (t^2 -1)/2t ); il dx lo puoi sostuire con il dt trovato prima e ottieni, con un po di manipolazioni algebriche, che l integrale è pari a logt +c ; adesso ricordiamoci che t=Radice (1+x^2) + x, e perveniamo allo stesso risultati che FireBall e altri avevano trovato.
Ciao!
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