Integrale $\int 1/sin(x+1)$

[indovina]

Salve ho un problema a calcolare questo integrale:

$\int 1/sin(x+1) dx$

ho pensato di svolgerla così:
dato che:
$csc x = 1/sinx$

nel nostro caso:
$\int 1/sin(x+1) dx = \int csc(x+1) dx = \int csc u du$
per sostituzione: $x+1=u$ e $du=dx$


non riesco ad andare avanti avevo pensato per parti, ma non credo sia la via migliore
qualche suggerimento?

[Gi81]

La sostituzione va bene: arrivi a $int (1) /(sin u) d u$
Poni ora $t=tg(u/2)$. Sai come procedere?

[indovina]

La cosa che non capisco è il porre a $tg(u/2)$ invece che a $tg(u)$.
che poi
$tg(u/2)=(sin(u/2))/(cos(u/2))$ e potrebbe servirmi, però voglio capire prima il perchè di $u/2$

[Gi81]

Si fa proprio quella sostituzione perchè permette di semplificare quasi tutto, anche se a prima vista non sembra.

Se poni $t=tg(u/2)$, dalle formule parametriche derivanti dalle formule di bisezione hai che $sin u= (2t)/(1+t^2)$

Inoltre $u=2arctg (t) => du = 2*1/(1+t^2) dt$

Quindi l'integrale diventa $int [(1+t^2)/(2t)]*[2/(1+t^2)] dt= int 1/t dt$