Integrale $\int_0^1(3e^(x) + e^(2x))ln(1 + 2e^x)dx$
Ciao ragazzi, sto provando a fare questo integrale:
$\int_0^1(3e^(x) + e^(2x))ln(1 + 2e^x)dx$
Con Wolfram Alpha mi da direttamente il risultato ma non i passaggi.
Ho provato a svolgere il prodotto così da avere due integrali separati:
$\int_0^1(3e^(x)ln(1 + 2e^x))dx + \int_0^1(e^(2x))ln(1 + 2e^x)dx$
Il primo integrale l'ho svolto per parti sino ad avere
$[e^x ln(1+2e^x)]_0^1 -\int_0^1(e^x)((2e^x)/(1+2e^x))dx$=$[e^x ln(1+2e^x)]_0^1 -\int_0^1((2e^(2x))/(1+2e^x))dx$
Ho preso la parte $\int_0^1((2e^(2x))/(1+2e^x))dx$ per provare a farla come un integrale $\int_0^1((x^2)/(1+x))dx$
Proseguo bene?
$\int_0^1(3e^(x) + e^(2x))ln(1 + 2e^x)dx$
Con Wolfram Alpha mi da direttamente il risultato ma non i passaggi.
Ho provato a svolgere il prodotto così da avere due integrali separati:
$\int_0^1(3e^(x)ln(1 + 2e^x))dx + \int_0^1(e^(2x))ln(1 + 2e^x)dx$
Il primo integrale l'ho svolto per parti sino ad avere
$[e^x ln(1+2e^x)]_0^1 -\int_0^1(e^x)((2e^x)/(1+2e^x))dx$=$[e^x ln(1+2e^x)]_0^1 -\int_0^1((2e^(2x))/(1+2e^x))dx$
Ho preso la parte $\int_0^1((2e^(2x))/(1+2e^x))dx$ per provare a farla come un integrale $\int_0^1((x^2)/(1+x))dx$
Proseguo bene?
Risposte
Ciao, allora, devi porre la sostituzione $e^x=t$ e poi integrare per parti.
"Soscia":
Ciao, allora, devi porre la sostituzione $e^x=t$ e poi integrare per parti.
A quale passaggio ti riferisci?
Prima ti fare calcoli, fai la sostituzione che ti ho consigliato e poi integri per parti.
"Soscia":
Prima ti fare calcoli, fai la sostituzuine che ti ho consigliato e poi integri per parti.
Dislessia?
"ciampax":
[quote="Soscia"]Prima ti fare calcoli, fai la sostituzuine che ti ho consigliato e poi integri per parti.
Dislessia?
[/quote]fretta di scrivere...
Allora, siccome sono un sacco di volte che provo a rifarlo ma il risultato numerico è quasi il doppio di quello che dovrebbe venire vi elenco tutti i passaggi
$\int_{0}^{1} (3e^x+e^(2x))ln(1+2e^(x))dx$ $rArr$ $e^(x)=t$ $rArr$ $dx=dt/t$
$rArr$ $\int_{1}^{e} (3t+t^2)ln(1+2t)(dt/t) = \int_{1}^{e} (3+t)ln(1+2t)dt$ Integro per parti
$\int_{1}^{e} ln(1+2t)d((3+t)^2) = $
$ = [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (3+t)^(2)d(ln(1+2t)) = $
$ = [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} ((3+t)^2)/(1+2t)dt$
divisione fra polinomi: $((3+t)^2)/(1+2t)= t/2 + 11/4 + 25/(4(2t+1))$
$rArr$ $[(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (t + 11/2 + 25/(2(2t+1)))dt$
$u=2t+1 rArr 2dt = du rArr dt = (du)/2$
$rArr [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - 1/2 [t^2]_{1}^{e} - 11/2 [t]_{1}^{e} -25/4 \int_{3}^{1+2e} 1/u du =$
$= [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - 1/2 [t^2]_{1}^{e} - 11/2 [t]_{1}^{e} -25/4 [ln(u)]_{3}^{1+2e} = 25,89....$
Invece il risultato a quanto dice Wolfram Alpha deve essere 12,94...
$\int_{0}^{1} (3e^x+e^(2x))ln(1+2e^(x))dx$ $rArr$ $e^(x)=t$ $rArr$ $dx=dt/t$
$rArr$ $\int_{1}^{e} (3t+t^2)ln(1+2t)(dt/t) = \int_{1}^{e} (3+t)ln(1+2t)dt$ Integro per parti
$\int_{1}^{e} ln(1+2t)d((3+t)^2) = $
$ = [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (3+t)^(2)d(ln(1+2t)) = $
$ = [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} ((3+t)^2)/(1+2t)dt$
divisione fra polinomi: $((3+t)^2)/(1+2t)= t/2 + 11/4 + 25/(4(2t+1))$
$rArr$ $[(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (t + 11/2 + 25/(2(2t+1)))dt$
$u=2t+1 rArr 2dt = du rArr dt = (du)/2$
$rArr [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - 1/2 [t^2]_{1}^{e} - 11/2 [t]_{1}^{e} -25/4 \int_{3}^{1+2e} 1/u du =$
$= [(3+t)^(2)ln(1+2t)]_{1}^{e} - 1/2 [t^2]_{1}^{e} - 11/2 [t]_{1}^{e} -25/4 [ln(u)]_{3}^{1+2e} = 25,89....$
Invece il risultato a quanto dice Wolfram Alpha deve essere 12,94...
"Caterpillar":
$rArr$ $\int_{1}^{e} (3t+t^2)ln(1+2t)(dt/t) = \int_{1}^{e} (3+t)ln(1+2t)dt$ Integro per parti
$ \mathbf{\frac{1}{2}}\int_{1}^{e} ln(1+2t)d((3+t)^2) = $
Hai scordato un coefficiente.
Pensa te, devo star proprio in loop questi giorni per fare lo stesso errore 3 volte!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo