Integrale indefinito trascendente [xsqrt[(1-x)/(1+x)]]

[marta008]

salve ho dei piccoli problemi su questo integrale

$\int_{}^{} [xsqrt[(1-x)/(1+x)] dx$
allora io ho posto l argomento della radice uguale a t
trovando x e dx il problema e che ottengo questo integrale
$\int_{}^{} [(t^4-t^2)/(t^2+1)^3]dx$

[Zero87]

Vi propongo un modo per risolverlo che, vedendolo, magari qualcuno può pensare che io sia mentalmente instabile quando l'ho pensato, ma vi assicuro che non è così e che sono lucidissimo.

Pongo $x=cos(t)$ da cui $dx = -sin(t)dt$ e l'integrale diventa
$\int x\sqrt(\frac{1-x}{1+x})dx= \int -cos(t)sin(t) \sqrt(\frac{1-cos(t)}{1+cos(t)}) dt$

Senza fare calcoli non troppo difficili, ma che non riporto, si ha che
$\sqrt(\frac{1-cos(t)}{1+cos(t)})=tan(t/2)=\frac{1-cos(t)}{sin(t)}$.

Otteniamo (la $c$ la metto poi)
$\int -cos(t)(1-cos(t))dt = \int -cos(t) dt + \int cos^2(t) dt = -sin(t) + \int (1+cos(2t))/2 dt =$
$= - sin(t) + \int dt/2 + \int cos(2t)/2 dt= sin(t)+1/2 t -sin(2t)/4= sin(t)+1/2 t -(sin(t)cos(t))/2$

Per tornare a $x$, so che $sin(t)=\sqrt(1-cos^2(t))$ e, dunque
$= \sqrt(1-x^2)+arccos(x)/2-x/2 \sqrt(1-x^2)+c$.

Due domande mi sorgono spontanee.
La prima è se esiste un metodo più semplice (m'è venuto in mente solo questo!) e la seconda è che su wolframalpha l'integrale ha una soluzione più assurda di questa...

[theras]

@James.
Un modo "veloce" per trovare quella primitiva
(e che mi pare abbia pure il "pregio" d'aggirare in toto l'indeterminazione dei segni presenti nelle formule da te usate,
ma senza le le suddivisioni del dominio dell'integranda,e le indispensabili considerazioni ad esse relative,che il mio Prof di Analisi I considerava indispensabili quando s'intraprendono certe vie..),
mi pare possa essere procedere per parti,usando $(1-x)$ come fattore finito,dopo aver riscritto la funzione integranda nella forma $f(x)=x/sqrt(1-x^2)(1-x)$(lecitamente,tenuto conto del suo dominio..):
salta fuori un integrale "quasi-elementare" che,
a meno della costante d'integrazione e di identità assortite ed eventuli tra funzioni trigonometriche inverse,
è certo uguale a tu ed a quella "cosaccia" che leggi su Wolphram .
@Marta.
Benvenuta sul Forum,e grazie per la correzione:
la prox. volta basta un up del messaggio precedente
(purchè,come hai ben fatto a termini di regolamento,dopo 24 dal messaggio privo di risposte)!
Cosa sai,comunque,sulla decomposizione in fratti semplici delle razionali fratte?
Saluti dal web.