INTEGRALE INDEFINITO, RISOLUZIONE PER PARTI

[lollocava]

ciao a tutti,
non riesco a venire a capo del seguente integrale:
$ \int x sin (x) cos ^2(x) dx $

sostituisco il $ cos ^2(x) $ con $ (1-sin^2(x)) $ , effettuo la moltiplicazione, divido l'integrale per la somma e mi blocco nella risoluzione di $ -\int x sin^3(x) dx $

esame a breve e penso sia un passaggio abbastanza importante, se qualcuno potesse illuminarmi gliene sarei molto grato, ringrazio in anticipo,
Lorenzo

[gugo82]

Beh, $sin x cos^2 x$ si integra a occhio, senza bisogno di usare la relazione fondamentale.

[lollocava]

Essendo scarso, aggiungendo la X e senza utilizzare il cambio di variabile mi trovo in difficoltà

[gugo82]

Integriamo per parti con fattore differenziale \(f^\prime (x) = \sin x \cos^2 x\) (che, come detto, si integra "ad occhio"):
\[
\begin{split}
\int \underbrace{x}_{=g(x)}\ \underbrace{\sin x \cos^2 x}_{=f^\prime (x)}\ \text{d} x &= \overbrace{x}^{=g(x)}\ \overbrace{\frac{-1}{3}\ \cos^3 x}^{=f(x)} - \int \overbrace{1}^{=g^\prime (x)}\ \overbrace{\frac{-1}{3}\ \underbrace{\cos^3 x}_{=\cos x \cos^2 x}}^{=f(x)}\ \text{d} x\\
&=-\frac{x}{3}\ \cos^3 x + \frac{1}{3}\ \int \cos x\ \underbrace{\cos^2 x}_{=1-\sin^2 x}\ \text{d} x\\
&=-\frac{x}{3}\ \cos^3 x + \frac{1}{3}\ \left( \int \cos x\ \text{d} x - \int \cos x\ \sin^2 x\ \text{d} x\right)\\
&= -\frac{x}{3}\ \cos^3 x + \frac{1}{3}\ \sin x - \frac{1}{9}\ \sin^3 x + C\; .
\end{split}
\]
Ovviamente, le integrazioni "ad occhio" sono state fatte usando un paio di volte la formula di integrazione immediata degli integrali di tipo potenza, i.e.:
\[
\int \phi^\prime (x)\ \phi^\alpha (x)\ \text{d} x = \frac{1}{\alpha +1}\ \phi^{\alpha +1}(x)+ C
\]
valida per $\alpha != -1$.

[lollocava]

Ti ringrazio! Mi confondevo con il quadrato del coseno, derivando tutta la funzione potenza...