Integrale indefinito per sostituzione

[Izzo2]

Salve, ho risolto questo integrale, che secondo mio parere è giusto che sia risolto così, ma wolfram mi dà tutt'altro risultato.
L'integrale è questo : $ int 1/x sqrt((log^(2)x + 1)) dx $
Procedo in questo modo: $ t = logx $ ; $ dt = 1/x dx $.
Quindi: $ int sqrt(t^2 +1) dt = ((t^2 +1)^ (1/2 +1))/ (1/2+1) = 2/3 sqrt((t^2 +1)^3) = 2/3 sqrt((log^(2)x +1)^3) $.
Dove sbaglio?

[Frink1]

"Izzo":$ int sqrt(t^2 +1) dt = ((t^2 +1)^ (1/2 +1))/ (1/2+1) $

Sei sicuro?

Quell'integrale è sbagliato, per integrare come fai tu servirebbe la derivata di $t^2-1$ fuori dalla radice.

[Izzo2]

Si, giusto, hai ragione, e quindi come devo procedere arrivato a quel punto?

[Frink1]

Le primitive sono:

\[
\int \sqrt{t^2-1} dt=\frac{x^2}{2}\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\log{(x+\sqrt{x^2-1})}+c
\]

Lo puoi calcolare con sostituzione trigonometrica e poi per parti o con formule di riduzione trigonometriche.

[Brancaleone1]

Eh purtroppo gli integrali delle radici non si risolvono così, sono un po' più ostici
Esistono delle sostituzioni tipiche per le radici più semplici: in questo caso puoi adottare la sostituzione

${ ( t=asinh(y) ),( text(d)t=acosh(y)text(d)y ):}$

EDIT: scusate ho postato senza rendermi conto che già Frink aveva risposto