Integrale indefinito particolare
Salve ragazzi, sto avendo problemi con questo integrale:
$ int (((x-2x^2)^(1/2))/x^3) dx $
Ho provato a fare questa sostituzione : ((2^(1/2))x +t) = (x-2(x)^2)^(1/2), il problema che al 9 foglio di calcoli ho iniziato ad avere dubbi sulla scelta della sostituzione... sapreste dirmi se effettivamente il procedimento è giusto e/o se c'è un modo di procedere migliore?
Vi ringrazio
$ int (((x-2x^2)^(1/2))/x^3) dx $
Ho provato a fare questa sostituzione : ((2^(1/2))x +t) = (x-2(x)^2)^(1/2), il problema che al 9 foglio di calcoli ho iniziato ad avere dubbi sulla scelta della sostituzione... sapreste dirmi se effettivamente il procedimento è giusto e/o se c'è un modo di procedere migliore?
Vi ringrazio
Risposte
"TheGabbo":
Salve ragazzi, sto avendo problemi con questo integrale:
$ int (((x-2x^2)^(1/2))/x^3) dx $
Ho provato a fare questa sostituzione : ((2^(1/2))x +t) = (x-2(x)^2)^(1/2), il problema che al 9 foglio di calcoli ho iniziato ad avere dubbi sulla scelta della sostituzione... sapreste dirmi se effettivamente il procedimento è giusto e/o se c'è un modo di procedere migliore?
Vi ringrazio
La sostituzione che hai usato non è corretta (e lo vedi subito se provi ad elevare a quadrato i due membri dell'uguaglianza).
Per questo tipo di integrale abeliano devi usare una sostituzione del tipo
\[
y^2 = \frac{1-2x}{x}\,.
\]
Con questa sostituzione e un paio di passaggi l'integrale diviene \(-2\int y^2 dy\).
Ciao.
Mi sembra di ricordare che quando si ha a che fare con un integrale dipendente da $sqrt(ax^2+bx+c)$ con $a<0$ (come nel tuo caso), un tentativo di sostituzione potrebbe essere il seguente:
$sqrt(ax^2+bx+c)=t*(x-alpha)$, dove $alpha$ è una qualunque delle due soluzioni di $ax^2+bx+c=0$
Ma ho appena visto che Rigel ti ha già risposto, probabilmente la sua strategia è quella migliore.
Saluti.
Mi sembra di ricordare che quando si ha a che fare con un integrale dipendente da $sqrt(ax^2+bx+c)$ con $a<0$ (come nel tuo caso), un tentativo di sostituzione potrebbe essere il seguente:
$sqrt(ax^2+bx+c)=t*(x-alpha)$, dove $alpha$ è una qualunque delle due soluzioni di $ax^2+bx+c=0$
Ma ho appena visto che Rigel ti ha già risposto, probabilmente la sua strategia è quella migliore.
Saluti.
Ciao rigel, scusami ma non ho capito come fai a far arrivare quella x, sotto 1-2x,per poi poter sostituire y^2=(1-2x)/x, considerando che (x-2x^2) e tutto sotto radice.
Per quel tipo di integrali abeliani, se sotto radice hai un trinomio con due zeri reali distinti, del tipo
\[
p(x) = a(x-x_0) (x-x_1)
\]
puoi fare la sostituzione
\[
y^2 = a\, \frac{x-x_0}{x-x_1}.
\]
Hai che
\[
y^2 (x-x_1)^2 = a(x-x_0) (x-x_1)
\quad\Longrightarrow\quad
y (x-x_1) = \sqrt{p(x)}.
\]
Fatti i dovuti calcoli, l'integrale si riconduce all'integrazione di una funzione razionale in \(y\).
\[
p(x) = a(x-x_0) (x-x_1)
\]
puoi fare la sostituzione
\[
y^2 = a\, \frac{x-x_0}{x-x_1}.
\]
Hai che
\[
y^2 (x-x_1)^2 = a(x-x_0) (x-x_1)
\quad\Longrightarrow\quad
y (x-x_1) = \sqrt{p(x)}.
\]
Fatti i dovuti calcoli, l'integrale si riconduce all'integrazione di una funzione razionale in \(y\).
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