Integrale indefinito ... ostico

[Camillo]

So che $ int dx/(xsqrt(x^2-1)) = atan sqrt(x^2-1) +c $ ma come ci si arriva ?
Per parti non credo proprio, penso per sostituzione ma ne ho provate varie senza risultato... eppure deve essere semplice

[Gi81]

Direi che $t= \sqrt{x^2-1}$ può andare bene.

[Noisemaker]

forse ponedo $x^2-1=t^2$ ...

[size=85]ponendo $x^2-1=t^2$ si ha $dx=t/\sqrt{t^2+1}$

\begin{align}
\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,\,dx&=\int\frac{1}{t\cdot\sqrt{t^2+1}}\cdot \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\,\, dt=\int\frac{dt}{1+t^2}=\arctan t\\
&=\arctan\sqrt{x^2-1}
\end{align}[/size]

in generale puoi usare il metoddo dei differenziali binomi:

[size=85]

Quando la funzione integranda è del tipo
l$$\displaystyle\int x^m\left(ax^n+b\right)^p\,\,dx
$$
dove $a, b$ sono costanti qualunque e $m,n,p$ sono numeri razionali (positivi o negativi), è stato dimostrato dal matematico Cebicef, che l'integrale differenziale binomio si razionalizza soltanto nei seguenti tre casi:

[*:123r3jor] se $p$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
x=t^k,\qquad \text{dove $k$ è il m.c.m.dei denominatori di $m$ ed $n;$}
\end{align}[/*:m:123r3jor]
[*:123r3jor] se $\frac{m+1}{n}$ \`e un numero intero ponendo
\begin{align}
ax^n+b=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}[/*:m:123r3jor]
[*:123r3jor] se $\frac{m+1}{n}+p$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
\frac{ax^n+b}{x^n}=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}[/*:m:123r3jor][/list:u:123r3jor]
[/size]

[Brancaleone1]

$t=sqrt(x^2-1)$

$=>dx=t/(sqrt(t^2+1))dt$

$int 1/(xsqrt(x^2-1))dx=int t/(sqrt(t^2+1) cdot t cdot sqrt(t^2+1))dt=int 1/(t^2+1)dt=arctan(t)+c=arctan(sqrt(x^2-1))+c$

[Camillo]

Lo dicevo che era semplice... grazie a tutti gli intervenuti