Integrale indefinito (non per i deboli di cuore :) )
Ciao ragazzi,
al termine di un esercizio di Fisica II mi è richiesto il calcolo di questo integrale indefinito (sono sicuro che sia corretto):
$int (-x*cos(theta)-y*sin(theta)+R)/(x^2+y^2+R^2-2x*R*cos(theta)-2y*R*sin(theta))^(3/2)d\theta$
con $x,yinRR$ e $RinRR^+$.
Mi sembra opportuno scrivere subito $gamma=x^2+y^2+R^2$,$=>gammainRR^+$, giusto per ridurre visivamente il denominatore:
$int (-x*cos(theta)-y*sin(theta)+R)/(gamma-2x*R*cos(theta)-2y*R*sin(theta))^(3/2)d\theta$
Con l'aiuto della trigonometria riscrivo l'integrale così:
$int (-x*[(1-tan(theta/2)^2)/(1+tan(theta/2)^2)]-y*[(2tan(theta/2))/(1+tan(theta/2)^2)]+R)/(gamma-2x*R*[(1-tan(theta/2)^2)/(1+tan(theta/2)^2)]-2y*R*[(2tan(theta/2))/(1+tan(theta/2)^2)])^(3/2)d\theta$
Per sostituzione: $t=tan(theta/2)=>theta=2*atan(t)=>(d\theta)/(dt)=2*1/(1+t^2)$
Sostituisco:
$int_(t=tan(theta/2))(-x*[(1-t^2)/(1+t^2)]-y*[(2t)/(1+t^2)]+R)/(gamma-2x*R*[(1-t^2)/(1+t^2)]-2y*R*[(2t)/(1+t^2)])^(3/2)*2*1/(1+t^2)dt$
Ora non saprei quale sia la mossa migliore da fare:
$1\)$ effettuare tutti i prodotti cercando di semplificare il più possibile,
$2\)$ utilizzare la linearità dell'integrale e fare tre integrali a parte per poi sommarli.
....
Grazie in anticipo
al termine di un esercizio di Fisica II mi è richiesto il calcolo di questo integrale indefinito (sono sicuro che sia corretto):
$int (-x*cos(theta)-y*sin(theta)+R)/(x^2+y^2+R^2-2x*R*cos(theta)-2y*R*sin(theta))^(3/2)d\theta$
con $x,yinRR$ e $RinRR^+$.
Mi sembra opportuno scrivere subito $gamma=x^2+y^2+R^2$,$=>gammainRR^+$, giusto per ridurre visivamente il denominatore:
$int (-x*cos(theta)-y*sin(theta)+R)/(gamma-2x*R*cos(theta)-2y*R*sin(theta))^(3/2)d\theta$
Con l'aiuto della trigonometria riscrivo l'integrale così:
$int (-x*[(1-tan(theta/2)^2)/(1+tan(theta/2)^2)]-y*[(2tan(theta/2))/(1+tan(theta/2)^2)]+R)/(gamma-2x*R*[(1-tan(theta/2)^2)/(1+tan(theta/2)^2)]-2y*R*[(2tan(theta/2))/(1+tan(theta/2)^2)])^(3/2)d\theta$
Per sostituzione: $t=tan(theta/2)=>theta=2*atan(t)=>(d\theta)/(dt)=2*1/(1+t^2)$
Sostituisco:
$int_(t=tan(theta/2))(-x*[(1-t^2)/(1+t^2)]-y*[(2t)/(1+t^2)]+R)/(gamma-2x*R*[(1-t^2)/(1+t^2)]-2y*R*[(2t)/(1+t^2)])^(3/2)*2*1/(1+t^2)dt$
Ora non saprei quale sia la mossa migliore da fare:
$1\)$ effettuare tutti i prodotti cercando di semplificare il più possibile,
$2\)$ utilizzare la linearità dell'integrale e fare tre integrali a parte per poi sommarli.
....
Grazie in anticipo
Risposte
il giorno in cui sarò in gradi di risponderti potrò anche permettermi una vacanza di 2 mesi su una fottuta isola delle Hawaii. Scusami l'OT 
Ci provo a semplificarla...
\[\int \frac{R - (x\cos\vartheta + y\sin\vartheta)}{\bigl[x^2 + y^2 + R^2 - 2R(x\cos\vartheta + y\sin\vartheta)\bigr]^{\frac32}}\,d\vartheta \]
Usando una identità trigonometrica che ho trovato su wiki trovo:
\[\int \frac{R - \sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \arctan(x/y)\bigr)}{\bigl[x^2 + y^2 + R^2 - 2R\sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \arctan(x/y)\bigr)\bigr]^{\frac32}}\,d\vartheta \]
se \(y > 0\) e
\[\int \frac{R - \sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \pi + \arctan(x/y)\bigr)}{\bigl[x^2 + y^2 + R^2 - 2R\sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \pi + \arctan(x/y)\bigr)\bigr]^{\frac32}}\,d\vartheta \]
se \(y < 0\)
Ho qualche dubbio sul caso \(\displaystyle y=0 \) come descritto da wiki
Probabilmente ora è un po' più maneggevole. Ma che significato hanno le varie variabili? Sono collegate in qualche modo?
\[\int \frac{R - (x\cos\vartheta + y\sin\vartheta)}{\bigl[x^2 + y^2 + R^2 - 2R(x\cos\vartheta + y\sin\vartheta)\bigr]^{\frac32}}\,d\vartheta \]
Usando una identità trigonometrica che ho trovato su wiki trovo:
\[\int \frac{R - \sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \arctan(x/y)\bigr)}{\bigl[x^2 + y^2 + R^2 - 2R\sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \arctan(x/y)\bigr)\bigr]^{\frac32}}\,d\vartheta \]
se \(y > 0\) e
\[\int \frac{R - \sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \pi + \arctan(x/y)\bigr)}{\bigl[x^2 + y^2 + R^2 - 2R\sqrt{x^2+y^2}\sin\bigl(\vartheta + \pi + \arctan(x/y)\bigr)\bigr]^{\frac32}}\,d\vartheta \]
se \(y < 0\)
Ho qualche dubbio sul caso \(\displaystyle y=0 \) come descritto da wiki
Probabilmente ora è un po' più maneggevole. Ma che significato hanno le varie variabili? Sono collegate in qualche modo?
Ciao e grazie per le risposte:
@vict85 Grazie,non l'avevo mai vista quella identità, adesso vedo di ragionarci sù:
Oltre a $\theta$ tutte le altre sono dei parametri indipendenti.
@TheAnswer93 basta solo un po' d'occhio, nulla di trascendentale
@vict85 Grazie,non l'avevo mai vista quella identità, adesso vedo di ragionarci sù:
Oltre a $\theta$ tutte le altre sono dei parametri indipendenti.
@TheAnswer93 basta solo un po' d'occhio, nulla di trascendentale
@ lordb: Il problema che chiede?
Probabilmente il calcolo esplicito dell'integrale non è la via migliore per risolvere...
Probabilmente il calcolo esplicito dell'integrale non è la via migliore per risolvere...
Ciao gugo,
il problema chiede:
il problema chiede:
A quanto pare la soluzione era raggiungere l'integrale -.-
Scusate tutti per il tempo che vi ho fatto perdere, a quanto pare la primitiva non è analitica.
Scusate tutti per il tempo che vi ho fatto perdere, a quanto pare la primitiva non è analitica.
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