Integrale indefinito Logaritmo + equazione differenziale
salve a tutti! Avrei un dubbio su questo integrale indefinito:
$int ln(x^3)/x dx $
Svolgendo il logaritmo così mi torna:
$ int 3ln(x)/x dx = 3/2*ln^2(x) + c$
Però ho messo l'integrale su wolframalpha e mi dice che questo risultato si ottiene se assumo le x positive, e che il risultato dell'integrale sarebbe:
$ 1/6*ln^2(x^3) + c$
Non capisco come arrivare a questo risultato.. Mi servirebbe per svolgere una differenziale con variabili separabili:
$ y'xy= (ln(4x) + ln(x^3))/(arctg(2y)) $
Che ho svolto così
$ int yarctg(2y)dy= int ln(4x)/x dx + int ln(x^3)/x dx$
Quella prima dell'uguale l'ho svolta per parti
$ y^2/2arctg(2y) - 1/2 int y^2/(1+4y^2) dy $
$ y^2/2arctg(2y) - 1/2 int 1/4 dy + 1/8 int 1/(1+4y^2) dy$
$ y^2/2arctg(2y) - 1/2 int 1/4 dy + 1/16 int 1/(1+t^2) dy $
$ y^2/2arctg(2y) - 1/8y + 1/16arctg(2y) + c $
Quello dopo l'uguale:
$ int ln(4x)/x dx + int ln(x^3)/x dx $
Di cui non so fare il secondo
qualcuno può aiutarmi?
$int ln(x^3)/x dx $
Svolgendo il logaritmo così mi torna:
$ int 3ln(x)/x dx = 3/2*ln^2(x) + c$
Però ho messo l'integrale su wolframalpha e mi dice che questo risultato si ottiene se assumo le x positive, e che il risultato dell'integrale sarebbe:
$ 1/6*ln^2(x^3) + c$
Non capisco come arrivare a questo risultato.. Mi servirebbe per svolgere una differenziale con variabili separabili:
$ y'xy= (ln(4x) + ln(x^3))/(arctg(2y)) $
Che ho svolto così
$ int yarctg(2y)dy= int ln(4x)/x dx + int ln(x^3)/x dx$
Quella prima dell'uguale l'ho svolta per parti
$ y^2/2arctg(2y) - 1/2 int y^2/(1+4y^2) dy $
$ y^2/2arctg(2y) - 1/2 int 1/4 dy + 1/8 int 1/(1+4y^2) dy$
$ y^2/2arctg(2y) - 1/2 int 1/4 dy + 1/16 int 1/(1+t^2) dy $
$ y^2/2arctg(2y) - 1/8y + 1/16arctg(2y) + c $
Quello dopo l'uguale:
$ int ln(4x)/x dx + int ln(x^3)/x dx $
Di cui non so fare il secondo
qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Le due soluzioni sono equivalenti, infatti se porti fuori il cubo dal logaritmo al quadrato ti scappa fuori un 9.
L'errore è nell'integrazione del primo membro dell'equazione differenziale:
Sostituiamo \(\displaystyle 2y = x \) per stare comodi. viene \(\displaystyle \frac 1 4 \int x \arctan x \qquad dx \)
Svolgendolo per parti abbiamo
\(\displaystyle \frac 1 8 (x^2 \arctan x) - \frac 1 8 \int \frac {x^2}{1+x^2} dx \)
Svolgendo l'ultimo integrale per parti
\(\displaystyle \int x \frac {x}{1+x^2} dx = x \arctan x - arctan x \)
Andando a sostituire tutto il pacchetto, e rimettendo la y dovrebbe venirti il risultato
Dimmi se ti torna
L'errore è nell'integrazione del primo membro dell'equazione differenziale:
Sostituiamo \(\displaystyle 2y = x \) per stare comodi. viene \(\displaystyle \frac 1 4 \int x \arctan x \qquad dx \)
Svolgendolo per parti abbiamo
\(\displaystyle \frac 1 8 (x^2 \arctan x) - \frac 1 8 \int \frac {x^2}{1+x^2} dx \)
Svolgendo l'ultimo integrale per parti
\(\displaystyle \int x \frac {x}{1+x^2} dx = x \arctan x - arctan x \)
Andando a sostituire tutto il pacchetto, e rimettendo la y dovrebbe venirti il risultato
Dimmi se ti torna
Ciao, ti faccio notare che il valore dei due integrali è esattamente lo stesso, quando porti a fattore moltiplicativo il 3 di (x^3) l'hai due volte perché è log^2.
Dunque ( 3 * 3 ) / 6 = 3/2 .
Ciao
Dunque ( 3 * 3 ) / 6 = 3/2 .
Ciao
Grazie mille non lo sapevo Proprio!!! Davvero 1000 volte grazie 
Perfetti grazie mille anche per la spiegazione dell'equazione differenziata ho capito ora l'errore grazie infinite a tutti e due siete stati molto di aiuto! 
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