Integrale indefinito e teorema di Lagrange
Potreste spiegarmi meglio questa applicazione del teorema di Lagrange all'integrale indefinito:
[...] non è corretto scriver $ int_( )^( ) 1/(cos^2x)dx = tgx + c $ .Dato che $ tg(pi/2) = oo $ non si può applicare il teorema di Lagrange per poter scrivere la precedente espressione, ovvero ci saranno altre primitive con un'altra forma. [...]
Grazie!
[...] non è corretto scriver $ int_( )^( ) 1/(cos^2x)dx = tgx + c $ .Dato che $ tg(pi/2) = oo $ non si può applicare il teorema di Lagrange per poter scrivere la precedente espressione, ovvero ci saranno altre primitive con un'altra forma. [...]
Grazie!
Risposte
up!
non capisco il senso di tale frase, quell'equazione secondo me è corretta, i punti dove è definita la tangente sono gli stessi in cui è definita la sua derivata ovviamente, e quindi non ci sono problemi.
magari ti ricordi male la frase, o comunque chi l'ha scritta non intendeva quello che ho capito io.
magari ti ricordi male la frase, o comunque chi l'ha scritta non intendeva quello che ho capito io.
Quello che si vuole intendere è che, essendo l'insieme di definizione di [tex]$\frac{1}{\cos^2 x}$[/tex] non connesso (infatti tale funzione è definita in [tex]$X:=\bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} \left] -\frac{\pi}{2} +k\pi ,\frac{\pi}{2} +k\pi \right[$[/tex]), non è vero che due qualsiasi primitive di [tex]$\frac{1}{\cos^2 x}$[/tex] differiscono per una costante.
Ad esempio, consideriamo le funzioni:
[tex]$F_1(x):=\tan x$[/tex] ed [tex]$F_2(x):=\begin{cases} \tan x -1 &\text{, se $x\in ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$} \\ \tan x &\text{, se $x\in X\setminus ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$}\end{cases}$[/tex];
evidentemente [tex]$F_1^\prime (x)=\frac{1}{\cos^2 x} =F_2^\prime (x)$[/tex] in [tex]$X$[/tex], epperò:
[tex]$F_1(x)-F_2(x)=\begin{cases} 1 &\text{, se $x\in ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$} \\ 0 &\text{, se $x\in X\setminus ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$}\end{cases}$[/tex]
sicché [tex]$F_1$[/tex] ed [tex]$F_2$[/tex] non differiscono per una costante.
Che ci si appelli al teorema di Lagrange per provare questa cosa nel caso generale, credo sia conseguenza di com'è costruita la dimostrazione della proposizione "Se [tex]$F_1$[/tex] ed [tex]$F_2$[/tex] sono primitive di una stessa funzione con certe proprietà definita su un insieme con certe altre proprietà, allora esse differiscono per una costante".
Ad esempio, consideriamo le funzioni:
[tex]$F_1(x):=\tan x$[/tex] ed [tex]$F_2(x):=\begin{cases} \tan x -1 &\text{, se $x\in ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$} \\ \tan x &\text{, se $x\in X\setminus ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$}\end{cases}$[/tex];
evidentemente [tex]$F_1^\prime (x)=\frac{1}{\cos^2 x} =F_2^\prime (x)$[/tex] in [tex]$X$[/tex], epperò:
[tex]$F_1(x)-F_2(x)=\begin{cases} 1 &\text{, se $x\in ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$} \\ 0 &\text{, se $x\in X\setminus ]-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}[$}\end{cases}$[/tex]
sicché [tex]$F_1$[/tex] ed [tex]$F_2$[/tex] non differiscono per una costante.
Che ci si appelli al teorema di Lagrange per provare questa cosa nel caso generale, credo sia conseguenza di com'è costruita la dimostrazione della proposizione "Se [tex]$F_1$[/tex] ed [tex]$F_2$[/tex] sono primitive di una stessa funzione con certe proprietà definita su un insieme con certe altre proprietà, allora esse differiscono per una costante".
Quel riferimento al teorema di Lagrange penso derivi dalla dimostrazione che ci è stata data per il teorema fondamentale del calcolo integrale, che si trova anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale#Dimostrazione_alternativa
Non capisco una cosa, non si potrebbe fare lo discorso che hai fatto anche per un'altra funzione?
Intendo dire: cosa cambia se al posto di $f(x) = tanx$ si fosse usato per esempio una funzione definita $f(x) = x$ in un certo intervallo e come $f(x) = x - 1$ in un altro intervallo, ?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale#Dimostrazione_alternativa
Non capisco una cosa, non si potrebbe fare lo discorso che hai fatto anche per un'altra funzione?
Intendo dire: cosa cambia se al posto di $f(x) = tanx$ si fosse usato per esempio una funzione definita $f(x) = x$ in un certo intervallo e come $f(x) = x - 1$ in un altro intervallo, ?
up again
Domanda: "Cosa cambia se..."?
Risposta: Cambia poco. Per esempio:
definendo $f(x)={(x, 0<=x<=1), (x-1, 1
1) $f$ non ha primitive globali, ovvero derivabili in tutto $[0, 2]$; tutte le primitive non saranno derivabili per $x=1$. La famiglia delle primitive derivabili in $[0, 2] \setminus {1}$ è:
$F_{c_1, c_2}(x)={((x^2)/2+c_1, 0<=x<=1), ((x^2)/2+x+c_2, 1
Sottolineo che queste non sono vere primitive. Infatti non sono derivabili ovunque. Confronta con il teorema di esistenza delle primitive per funzioni continue.
2) Non è più vero che due primitive (adesso "primitiva" è da intendersi nel senso indebolito di "primitiva in $[0, 2]\setminus{0}$") differiscono per una costante. Puoi fabbricarti facilmente molti esempi giocando con $c_1, c_2$: ad esempio considera $F_{0, 0}(x)$ e $F_{0, 1}(x)$.
La differenza tra questo esempio e quello di Gugo è che qui la funzione $f$ è definita in tutto un intervallo; ma all'atto pratico i problemi sono gli stessi, perché $f$ non è continua ovunque.
Risposta: Cambia poco. Per esempio:
definendo $f(x)={(x, 0<=x<=1), (x-1, 1
1) $f$ non ha primitive globali, ovvero derivabili in tutto $[0, 2]$; tutte le primitive non saranno derivabili per $x=1$. La famiglia delle primitive derivabili in $[0, 2] \setminus {1}$ è:
$F_{c_1, c_2}(x)={((x^2)/2+c_1, 0<=x<=1), ((x^2)/2+x+c_2, 1
Sottolineo che queste non sono vere primitive. Infatti non sono derivabili ovunque. Confronta con il teorema di esistenza delle primitive per funzioni continue.
2) Non è più vero che due primitive (adesso "primitiva" è da intendersi nel senso indebolito di "primitiva in $[0, 2]\setminus{0}$") differiscono per una costante. Puoi fabbricarti facilmente molti esempi giocando con $c_1, c_2$: ad esempio considera $F_{0, 0}(x)$ e $F_{0, 1}(x)$.
La differenza tra questo esempio e quello di Gugo è che qui la funzione $f$ è definita in tutto un intervallo; ma all'atto pratico i problemi sono gli stessi, perché $f$ non è continua ovunque.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo