Integrale indefinito di $(1/x^3)sqrt(1+1/x)$
Salve a tutti, vorrei qualche suggerimento per lo svolgimento di questo esercizio
1)Determinare F(x) primitiva in $]0,+oo[$ della funzione $(1/x^3)sqrt(1+1/x)$ e 2) tale che F(1)=0
Sono riuscito a integrare la funzione, ottenendo $2/3(1+1/x)^(3/2) - 2/5(1+1/x)^(5/2)$
So che adesso dovrei svolgere il $lim_(t->infty) [2/3(1+1/x)^(3/2) - 2/5(1+1/x)^(5/2)]_0^infty$
A questo punto sostituisco gli estremi, ma quando sost il valore 0, ottengo la forma indeterminata $infty-infty$ che non riesco a risolvere.
Per la parte 2) ho considerato $2/3(1+1/x)^(3/2) - 2/5(1+1/x)^(5/2) + c = 0$ , sostituito il valore 1 alla x, calcolato c, e riscritto la primitiva appena citata con il valore di c trovato. è corretto? grazie in anticipo
1)Determinare F(x) primitiva in $]0,+oo[$ della funzione $(1/x^3)sqrt(1+1/x)$ e 2) tale che F(1)=0
Sono riuscito a integrare la funzione, ottenendo $2/3(1+1/x)^(3/2) - 2/5(1+1/x)^(5/2)$
So che adesso dovrei svolgere il $lim_(t->infty) [2/3(1+1/x)^(3/2) - 2/5(1+1/x)^(5/2)]_0^infty$
A questo punto sostituisco gli estremi, ma quando sost il valore 0, ottengo la forma indeterminata $infty-infty$ che non riesco a risolvere.
Per la parte 2) ho considerato $2/3(1+1/x)^(3/2) - 2/5(1+1/x)^(5/2) + c = 0$ , sostituito il valore 1 alla x, calcolato c, e riscritto la primitiva appena citata con il valore di c trovato. è corretto? grazie in anticipo
Risposte
Una primitiva è una funzione tale che \(\displaystyle F(x) = \int_{x_0}^x f(t)\,dt + F(x_0)\) quindi non capisco a cosa ti serve trovare quel limite.
"vict85":
Una primitiva è una funzione tale che \(\displaystyle F(x) = \int_{x_0}^x f(t)\,dt + F(x_0)\) quindi non capisco a cosa ti serve trovare quel limite.
Ciao vict e grazie per la risposta. La mia professoressa ci ha suggerito di procedere cosi in questi casi, tu come lo continueresti?
Il punto è che tu stai calcolando l'integrale improprio di quella funzione e non cercando una sua primitiva.
Considerando il punto \(\displaystyle 2 \) può essere conveniente usare la primitiva definita come \(\displaystyle F(x) = \int_{1}^x f(t)\ dt + F(1) \). In generale avrai che \(\displaystyle F(x) = \lim_{k\to x}\int_{1}^k f(t)\ dt + F(1) \) ma in questo caso direi che le cose sono sufficientemente regolari da ignorare il limite.
Supponendo tu abbia fatto i calcoli giusti si ha che \(\displaystyle F(x) = \lim_{k\to x} \biggl[ \frac23\Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{3}{2}} - \frac25 \Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{5}{2}}\biggr]_1^{k} + C = \biggl[ \frac23\Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{3}{2}} - \frac25 \Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{5}{2}}\biggr]_1^{x} + C = \dotsb \) dove ho posto \(\displaystyle C = F(1) \)
Considerando il punto \(\displaystyle 2 \) può essere conveniente usare la primitiva definita come \(\displaystyle F(x) = \int_{1}^x f(t)\ dt + F(1) \). In generale avrai che \(\displaystyle F(x) = \lim_{k\to x}\int_{1}^k f(t)\ dt + F(1) \) ma in questo caso direi che le cose sono sufficientemente regolari da ignorare il limite.
Supponendo tu abbia fatto i calcoli giusti si ha che \(\displaystyle F(x) = \lim_{k\to x} \biggl[ \frac23\Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{3}{2}} - \frac25 \Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{5}{2}}\biggr]_1^{k} + C = \biggl[ \frac23\Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{3}{2}} - \frac25 \Bigl( 1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{5}{2}}\biggr]_1^{x} + C = \dotsb \) dove ho posto \(\displaystyle C = F(1) \)
dunque l'esercizio continuerebbe come
$[2/3-2/5-2/3sqrt(2^3)+2/5sqrt(2^5)]+C$ dove se sostituisco C = F(1) ottengo
$[2/3-2/5-2/3sqrt(2^3)+2/5sqrt(2^5)]+2/3sqrt(2^3)-2/5sqrt(2^5)=4/15$
La F(x) che cerco sarebbe data da $2/3(1+1/x)^(3/2)+2/5(1+1/x)^(5/2)+4/15$
$[2/3-2/5-2/3sqrt(2^3)+2/5sqrt(2^5)]+C$ dove se sostituisco C = F(1) ottengo
$[2/3-2/5-2/3sqrt(2^3)+2/5sqrt(2^5)]+2/3sqrt(2^3)-2/5sqrt(2^5)=4/15$
La F(x) che cerco sarebbe data da $2/3(1+1/x)^(3/2)+2/5(1+1/x)^(5/2)+4/15$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo