Integrale indefinito di 1/sin(x)
Buongiorno,
vorrei farvi una domanda perchè non capisco dove stia sbagliando nell'integrare $ int 1/sin (x) dx $.
So che la sostituzione consigliata è $ t=tan (x/2) $ , ma io ho provato a svolgerlo diversamente ed ho seguito questa strada:
moltiplico entrambi i menbri per $ sin (x) $
$ int 1/sin(x)*sin(x)/sin(x)dx=intsin(x)/sin^2(x)dx $
usando la formula $ sin^2(x)=1-cos^2(x) $ posso scrivere l'integrale come:
$ intsin(x)/(1-cos^2(x) )dx$
Adesso vado a risolvere per sostituzione ponendo
$ t=cos(x) $
trovo "x"
$ x=arccos(t) $
vado a calcolarmi il mio "dt"
$ dx=D_t(arccos(t))dt=-1/sqrt(1-t^2)dt $
ora posso ultimare la sostituzione:
$ intsin(x)/(1-cos^2(x))dx=intsin(arccos(t))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt $
il seno posso trasformarlo in coseno con $ sin(a)=sqrt(1-cos^2(a) $ quindi:
$ intsin(arccos(t))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt=intsqrt((1-cos^2(arccos(t))))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt $
coseno ed arcocoseno sono due funzioni inverse per cui:
$ intsqrt((1-cos^2(arccos(t))))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt=intsqrt((1-t^2))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt $
posso semplificare ed ottengo che:
$ intsqrt((1-t^2))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt=int-1/(1-t^2)dt=-int1/(1-t^2)dt $
e questo mi sembra un integrale molto semplice per cui lo spezzo:
$ 1/(1-t^2)=1/((1-t)(1+t))=A/(1-t)+B/(1+t)=(A(1+t)+B(1-t))/((1-t)(1+t))=(A+At+B-Bt)/((1-t)(1+t))=((A-B)t+A+B)/((1-t)(1+t)) $
$ { ( A-B=0 ),( A+B=1 ):} = { ( A=B ),( B+B=1 ):}={ ( A=B ),( 2B=1 ):}={ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $
quindi ho ottenuto che:
$ -int1/(1-t^2)dt =-[int1/(2(1-t))dt+int1/(2(1+t))dt] $
ossia
$ -[1/2int1/(1-t)dt+1/2int1/(1+t)dt]=-1/2[int1/(1-t)dt+int1/(1+t)dt] $
adesso posso sostituire le primitive:
$ -1/2[ln(abs(1-t))+ln(abs(1+t))] +c= -1/2ln(abs((1-t)(1+t)))+c=-1/2lnabs(1-t^2)+c $
visto che $ t=cos(x) $
il mio risultato diviene:
$ -1/2lnabs(1-t^2)+c =-1/2lnabs(1-cos^2(x))+c=-1/2lnabs(sin^2(x))+c $
La primitiva ottenuta dal testo con la sostituzione del testo è diversa ed ho provato a calcolare, in un intervallo 1,2 per vedere se avessero dato lo stesso risultato, ma così non è per cui la mia è sbagliata. Qualcuno mi sa dire dove?
Grazie
vorrei farvi una domanda perchè non capisco dove stia sbagliando nell'integrare $ int 1/sin (x) dx $.
So che la sostituzione consigliata è $ t=tan (x/2) $ , ma io ho provato a svolgerlo diversamente ed ho seguito questa strada:
moltiplico entrambi i menbri per $ sin (x) $
$ int 1/sin(x)*sin(x)/sin(x)dx=intsin(x)/sin^2(x)dx $
usando la formula $ sin^2(x)=1-cos^2(x) $ posso scrivere l'integrale come:
$ intsin(x)/(1-cos^2(x) )dx$
Adesso vado a risolvere per sostituzione ponendo
$ t=cos(x) $
trovo "x"
$ x=arccos(t) $
vado a calcolarmi il mio "dt"
$ dx=D_t(arccos(t))dt=-1/sqrt(1-t^2)dt $
ora posso ultimare la sostituzione:
$ intsin(x)/(1-cos^2(x))dx=intsin(arccos(t))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt $
il seno posso trasformarlo in coseno con $ sin(a)=sqrt(1-cos^2(a) $ quindi:
$ intsin(arccos(t))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt=intsqrt((1-cos^2(arccos(t))))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt $
coseno ed arcocoseno sono due funzioni inverse per cui:
$ intsqrt((1-cos^2(arccos(t))))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt=intsqrt((1-t^2))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt $
posso semplificare ed ottengo che:
$ intsqrt((1-t^2))/(1-t^2)*(-1/sqrt(1-t^2))dt=int-1/(1-t^2)dt=-int1/(1-t^2)dt $
e questo mi sembra un integrale molto semplice per cui lo spezzo:
$ 1/(1-t^2)=1/((1-t)(1+t))=A/(1-t)+B/(1+t)=(A(1+t)+B(1-t))/((1-t)(1+t))=(A+At+B-Bt)/((1-t)(1+t))=((A-B)t+A+B)/((1-t)(1+t)) $
$ { ( A-B=0 ),( A+B=1 ):} = { ( A=B ),( B+B=1 ):}={ ( A=B ),( 2B=1 ):}={ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $
quindi ho ottenuto che:
$ -int1/(1-t^2)dt =-[int1/(2(1-t))dt+int1/(2(1+t))dt] $
ossia
$ -[1/2int1/(1-t)dt+1/2int1/(1+t)dt]=-1/2[int1/(1-t)dt+int1/(1+t)dt] $
adesso posso sostituire le primitive:
$ -1/2[ln(abs(1-t))+ln(abs(1+t))] +c= -1/2ln(abs((1-t)(1+t)))+c=-1/2lnabs(1-t^2)+c $
visto che $ t=cos(x) $
il mio risultato diviene:
$ -1/2lnabs(1-t^2)+c =-1/2lnabs(1-cos^2(x))+c=-1/2lnabs(sin^2(x))+c $
La primitiva ottenuta dal testo con la sostituzione del testo è diversa ed ho provato a calcolare, in un intervallo 1,2 per vedere se avessero dato lo stesso risultato, ma così non è per cui la mia è sbagliata. Qualcuno mi sa dire dove?
Grazie
Risposte
Dov'è il problema? Stai procedendo nella maniera corretta!
\[ t = \cos (x) \implies dt = - \sin (x) dx \]
Quindi l'integrale diventa
\[ - \int \frac{1}{1 - t^2} dt \]
Questo è l'integrale di una razionale fratta, sul quale non dovresti avere problemi
\[ t = \cos (x) \implies dt = - \sin (x) dx \]
Quindi l'integrale diventa
\[ - \int \frac{1}{1 - t^2} dt \]
Questo è l'integrale di una razionale fratta, sul quale non dovresti avere problemi
grazie per la risposta, ma avevo postato la mia perplessità senza finire di scriverla. In pratica invece di premere su anteprima o premuto su invia. Grazie ancora e scusate l'errore. Adesso ho postato il tutto correttamente e vi sarei grato se potreste aiutarmi
è un integrale che si risolve in tre passaggi
$int1/(senx) dx=int(senx)/(sen^2x) dx=int(senx)/(1-cos^2x)$
poni $cosx=t rarr -senxdx=dt$ e ottieni
$int1/(t^2-1)dt=int1/(2(t-1))dt-int1/(2(t+1))dt=1/2log|t-1|-1/2log|t+1|=logsqrt((|cosx-1|)/(|cosx+1|)+C$
fine
$int1/(senx) dx=int(senx)/(sen^2x) dx=int(senx)/(1-cos^2x)$
poni $cosx=t rarr -senxdx=dt$ e ottieni
$int1/(t^2-1)dt=int1/(2(t-1))dt-int1/(2(t+1))dt=1/2log|t-1|-1/2log|t+1|=logsqrt((|cosx-1|)/(|cosx+1|)+C$
fine
Grazie mille e scusate se pongo domande che vi possono sembrare banali, ma io ho ricominciato adesso gli studi e son vecchio! Grazie di nuovo
In realtà non servirebbe nemmeno utilizzare le frazioni parziali. Se si ha un po' di dimestichezza con le funzioni iperboliche, l'integrale è immediato:
Se $ t = \cos (x)$,
\[ - \int \frac{1}{1 - t^2} dt = - artanh (t) + c = - \frac{1}{2} \cdot \ln \left | \frac{1 + t}{1 - t} \right | + c = \frac{1}{2} \cdot \ln \left | \frac{ 1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \right | + c, \ c \in \mathbb{R} \]
Se $ t = \cos (x)$,
\[ - \int \frac{1}{1 - t^2} dt = - artanh (t) + c = - \frac{1}{2} \cdot \ln \left | \frac{1 + t}{1 - t} \right | + c = \frac{1}{2} \cdot \ln \left | \frac{ 1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \right | + c, \ c \in \mathbb{R} \]
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