Integrale indefinito del giorno (III)
Ciao a tutti. Non sono sicuro dello svolgimento di questo integrale:
$int\ x^2/((x+1)(x^2-x+2))dx = $
Procedo dapprima con la decomposizione:
$x^2/((x+1)(x^2-x+2)) = A/(x+1)+B/(x^2-x+2)+(Cx)/(x^2-x+2)$
$A(x^2-x+2)+B(x+1)+C(x^2+x) = x^2$
Ricavo il sistemino:
${(A+C=1),(-A+B+C=0),(2A+B=0):}$
Le soluzioni date dal sistema sono: $A=1/4$, $B=-1/2$ e $C=3/4$.
Allora l'integrale da elaborare sarà:
$= 1/4int\1/(x+1)dx -1/2int\1/(x^2-x+2)dx +3/4int\x/(x^2-x+2) dx$
Modularizzando i vari integrali abbiamo:
-----------------------I----------------------------------
$1/4int\1/(x+1)dx = 1/4log|x+1| + c$
-----------------------II---------------------------------
(Questo è da controllare meglio)
$-1/2int\1/(x^2-x+2)dx = -1/2int\4/(4x^2-4x+8)dx = -int\2/((2x-1)^2+7)dx = -1/9int\2/((2x-1)^2/7)dx = -1/7int\2/((2x-1)/sqrt(7))^2dx$
Pongo $t=(2x-1)/sqrt(7)$ quindi $dt=2/sqrt(7)$
$=-sqrt(7)/7int\1/(1+t^2)dt = -1/sqrt(7)arctan((2x-1)/sqrt(7)) + c$
-----------------------III--------------------------------
$3/4int\x/(x^2-x+2)dx = 3/4int\(x-1+1)/(x^2-x+2)dx = 3/4log(x^2-x+2 + $ III.1 $3/4int\1/(x^2-x+2)dx =
3/4log(x^2-x+2) +3/(2sqrt(7))arctan((2x-1)/sqrt(7)) +c $
III.1 $3/4int\1/(x^2-x+2)dx = 3/int1/((2x-1)^2+7)dx = 3/7int\1/((2x-1)/sqrt(7))^2 dx= $
Pongo $t=(2x-1)/sqrt(7)$ quindi $dt=2/sqrt(7)$
$=3/7*sqrt(7)/2 int\1/(t^2+1)dt = 3/(2sqrt(7))arctan((2x-1)/sqrt(7)) +c $
-------------------------------------------------------
Concatenando i vari moduli dell'integrale di partenza la SOLUZIONE dovrebbe essere:
$1/4log|x+1| -1/7arctan((2x-1)/sqrt(7)) +3/4log(x^2-x+2) +3/(2sqrt(7))arctan((2x-1)/sqrt(7)) + c$
Scusate la ridondanza ma mi so divertito e di errori non ne mancheranno sicuro
$int\ x^2/((x+1)(x^2-x+2))dx = $
Procedo dapprima con la decomposizione:
$x^2/((x+1)(x^2-x+2)) = A/(x+1)+B/(x^2-x+2)+(Cx)/(x^2-x+2)$
$A(x^2-x+2)+B(x+1)+C(x^2+x) = x^2$
Ricavo il sistemino:
${(A+C=1),(-A+B+C=0),(2A+B=0):}$
Le soluzioni date dal sistema sono: $A=1/4$, $B=-1/2$ e $C=3/4$.
Allora l'integrale da elaborare sarà:
$= 1/4int\1/(x+1)dx -1/2int\1/(x^2-x+2)dx +3/4int\x/(x^2-x+2) dx$
Modularizzando i vari integrali abbiamo:
-----------------------I----------------------------------
$1/4int\1/(x+1)dx = 1/4log|x+1| + c$
-----------------------II---------------------------------
(Questo è da controllare meglio)
$-1/2int\1/(x^2-x+2)dx = -1/2int\4/(4x^2-4x+8)dx = -int\2/((2x-1)^2+7)dx = -1/9int\2/((2x-1)^2/7)dx = -1/7int\2/((2x-1)/sqrt(7))^2dx$
Pongo $t=(2x-1)/sqrt(7)$ quindi $dt=2/sqrt(7)$
$=-sqrt(7)/7int\1/(1+t^2)dt = -1/sqrt(7)arctan((2x-1)/sqrt(7)) + c$
-----------------------III--------------------------------
$3/4int\x/(x^2-x+2)dx = 3/4int\(x-1+1)/(x^2-x+2)dx = 3/4log(x^2-x+2 + $ III.1 $3/4int\1/(x^2-x+2)dx =
3/4log(x^2-x+2) +3/(2sqrt(7))arctan((2x-1)/sqrt(7)) +c $
III.1 $3/4int\1/(x^2-x+2)dx = 3/int1/((2x-1)^2+7)dx = 3/7int\1/((2x-1)/sqrt(7))^2 dx= $
Pongo $t=(2x-1)/sqrt(7)$ quindi $dt=2/sqrt(7)$
$=3/7*sqrt(7)/2 int\1/(t^2+1)dt = 3/(2sqrt(7))arctan((2x-1)/sqrt(7)) +c $
-------------------------------------------------------
Concatenando i vari moduli dell'integrale di partenza la SOLUZIONE dovrebbe essere:
$1/4log|x+1| -1/7arctan((2x-1)/sqrt(7)) +3/4log(x^2-x+2) +3/(2sqrt(7))arctan((2x-1)/sqrt(7)) + c$
Scusate la ridondanza ma mi so divertito e di errori non ne mancheranno sicuro
Risposte
"Paolovox":
-----------------------II---------------------------------
(Questo è da controllare meglio)
$-1/2int\1/(x^2-x+2)dx = -1/2int\4/(4x^2-4x+8)dx = -int\2/((2x+1)^2+7)dx = ...$
sicuro....senza fare conti si vede che hai messo un $+$ al posto del $-$
$(4x^2-4x+8)=(2x-1)^2+7$
il resto non l'ho guardato....
Si giusto anche se quel segno sbagliato non dovrebbe intaccare altri calcoli. L'ho cambiato.
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