Integrale indefinito del giorno

[Pablitos23]

Ciao a tutti.

$int\ (x+sqrt(x))/(x(1-x^2)) dx = $

$dx = 2t dt$

$ 2int\ (t+1)/(1-t^4) dt = -2 int\ (-t-1)/(t^4-1) dt$

Se i passaggi sono tutti corretti mi ritrovo a decomporre la funzione razionale:

$ (-t-1)/((t+1)(t-1)(t^2+1)) = A/(t+1)+ B/(t-1) + C/(t^2+1) + (Dt)/(t^2+1)$

Quindi il sistema dovrebbe essere fedele all'uguaglianza:

$A(t^3-t^2+t-1) +B(t^3+t^2+t+1) + C(t^2-1) + D(t^3-t) = -t-1$

${(A+B+D=0),(-A+B+C=0),(A+B-D=-1),(-A+B-C=-1):}$

${(2A+2B=-1),(-2A+2B=-1):}$

Mi trovo $A=0$ e nel verificare l'uguaglianza polinomiale si sgretola tutto.
Non so dove sbaglio.

[Lo_zio_Tom]

scusa ma non è identico a quello dell'altro giorno? è semplicissimo....devi solo stare attento alla scomposizione

[Lo_zio_Tom]

intanto sostituento a me risulta

$int2/((1-t)(1+t^2))dt$

[Pablitos23]

Si scusa. E' simile mi impiccio per stupidaggini:

SOLUZIONE COMPLETA

$int\(x+sqrt(x))/(x(1-x^2)) dx$

$t=sqrt(x)$
$dt=1/(2sqrt(x))dx$
$dx=2t dt$

$int\ ((t^2+t)2t)/(t^2(1-t^4))dt = 2 int\1/((1-t)(t^2+1)) dt$

Dalla decomposizione si ha che $A=B=C=1/2$

Quindi:

$2[1/2log(1-sqrt(x))+1/2tan^-1(sqrt(x))+1/4log(x+1)] + c$

Si grazie. La soluzione è ok.

[Lo_zio_Tom]

sorry....hai scomposto in maniera corretta..devi solo stare attento ai moduli.....

[Pablitos23]

Si è vero. Dovrebbe uscire $-log(1-sqrt(x))$, quindi sbaglio qui:

$int\ 1/(1-t) dt$

La soluzione da WolframeAlpha è:

[Lo_zio_Tom]

non devi guardare quelle soluzioni....come hai fatto tu va bene....ci manca solo il modulo

inoltre anche $t^2!=x$

$t^2=|x|$

[Pablitos23]

Non dovrebbe trovarsi:

$int\ (f'(t))/(f(t)+1) = log|f(t)| +c $

Però nel caso precedente $f(t) = -t$ quindi la derivata deve essere $f'(t) = -1$

Ok non userò più WolframeAlpha.

[Lo_zio_Tom]

"Paolovox":
Ok non userò più WolframeAlpha.

anche io lo uso per controllo...ma lo devi usare con parsimonia...fai bene i conti poi deriva il risultato e vedi se ti torna l'integranda....

[Pablitos23]

Si certo. Altrimenti non ci sarebbe gusto e poi dovrei utilizzarlo anche all'esame, cosa che non penso sia ammissibile.

Comunque ho derivato e senza il $-$ davanti a $log(1-sqrt(x))$ non si trova, con il $-$ si.



Quindi penso che per ricondurci all'integrale indefinito immediato,

$int\ (f'(x))/(f(x)+1) dx$

vada moltiplicato per $-1/-1$ $int\ 1/(-t+1) dt$

Può andare?

[Lo_zio_Tom]

si ho controllato rifacendo tutti i conti

quando hai

$int1/(1-t)dt$ ovviamente, il risultato è $-log|1-t|$ dato che la derivata è $-1$

[Pablitos23]

Grazie per il tempo che mi hai dedicato e ora passo alla teoria delle serie