Integrale indefinito con radice al denominatore
Salve a tutti. Lunedì (ahimè) avrò lo scritto dell'esame di Analisi Matematica I e mi sto ora esercitando sugli integrali indefiniti. Oramai la maggior parte riesco a risolverli, ma ce n'è uno in particolare che mi attanaglia da giorni...
$ int_()^() 1/(sqrt(e^(2x)+e^x+1)) dx $
Ho provato praticamente tutti i metodi che conosco... Per prima cosa ho sostituito $ e^x = t $ poi ho calcolato il differenziale con $ x=log(t) $ e $ dx= 1/t dt $ ...
Ora ho l'integrale $ int_()^() 1/(t(sqrt(t^(2)+t+1))) dt $
Ora non so più cosa fare, fare una doppia sostituzione con tutta la radice non sembra funzionare, per parti è impossibile... Se non ci fosse quella t fuori la radice applicherei il completamento del quadrato e mi ricondurrei alle funzioni inverse delle iperboliche.. ma non credo sia questo il caso...
Se qualcuno riesce ad aiutarmi illustrandomi il metodo gliene sarò immensamente grato...
$ int_()^() 1/(sqrt(e^(2x)+e^x+1)) dx $
Ho provato praticamente tutti i metodi che conosco... Per prima cosa ho sostituito $ e^x = t $ poi ho calcolato il differenziale con $ x=log(t) $ e $ dx= 1/t dt $ ...
Ora ho l'integrale $ int_()^() 1/(t(sqrt(t^(2)+t+1))) dt $
Ora non so più cosa fare, fare una doppia sostituzione con tutta la radice non sembra funzionare, per parti è impossibile... Se non ci fosse quella t fuori la radice applicherei il completamento del quadrato e mi ricondurrei alle funzioni inverse delle iperboliche.. ma non credo sia questo il caso...
Se qualcuno riesce ad aiutarmi illustrandomi il metodo gliene sarò immensamente grato...
Risposte
Ciao. Facendo così:
$(dx)/sqrt(e^(2x)+e^x+1)=(dx)/sqrt(e^(2x)(1+e^(-x)+e^(-2x)))=(e^-xdx)/(sqrt(1+e^(-x)+e^(-2x)))=(-dt)/sqrt(1+t+t^2)$,
con la sostituzione $t=e^(-x)$, non hai la $t$ fuori dalla radice.
$(dx)/sqrt(e^(2x)+e^x+1)=(dx)/sqrt(e^(2x)(1+e^(-x)+e^(-2x)))=(e^-xdx)/(sqrt(1+e^(-x)+e^(-2x)))=(-dt)/sqrt(1+t+t^2)$,
con la sostituzione $t=e^(-x)$, non hai la $t$ fuori dalla radice.
Grazie mille, mi hai risolto un problema immenso, non ci avrei mai pensato... Ma quando posso utilizzare questo tipo di sostituzione? In generale ogni volta che ho degli esponenziali antipatici? Come me ne posso accorgere?
Francamente non so darti una regola su come generalizzare questo esempio. Tendo ad andare a intuito, e sicuramente i capelli grigi in questo senso aiutano 
Capito, grazie mille comunque! 
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