Integrale indefinito con modulo
Dovrei risolvere quest'integrale:
$int |x|log(1+x^2)dx$
Effettuando la risoluzione dell'integrale per parti non arrivo da nessuna parte.Infatti itero il processo ma vengono quantità sempre più grandi. Credo che ci sia da fare qualche sostituzione ma non riesco a capire quale.
$int |x|log(1+x^2)dx$
Effettuando la risoluzione dell'integrale per parti non arrivo da nessuna parte.Infatti itero il processo ma vengono quantità sempre più grandi. Credo che ci sia da fare qualche sostituzione ma non riesco a capire quale.
Risposte
Devi innanzitutto distinguere i due casi $x>0$ ed $x<0$
Poi integrando due volte per parti arrivi alla soluzione...
Poi integrando due volte per parti arrivi alla soluzione...
"f.bisecco":
Devi innanzitutto distinguere i due casi $x>0$ ed $x<0$
Poi integrando due volte per parti arrivi alla soluzione...
mmm credo di no.Il discorso che dici tu si applica quando la l'integrale è definito in un intervallo con estremi valori opposti. In quel caso si scinde l'integrale in due parti per $x>0$ e $x<0$
Magari può aiutarti...
$(del ((x^2*sign(x))/2))/(del x)=|x|$..ora, procedento per parti dovresti arrivare al risultato...
$(del ((x^2*sign(x))/2))/(del x)=|x|$..ora, procedento per parti dovresti arrivare al risultato...
"clrscr":
Magari può aiutarti...
$(del ((x^2*sign(x))/2))/(del x)=|x|$..ora, procedento per parti dovresti arrivare al risultato...
Ti ringrazio clrscr per l'aiuto ma la tua scrittura per me è un pò geroglifico dato che sono uno studente di analisi 1 e se non vado errato quelli sono simboli di derivata parziale qundi già cadiamo in pieno terreno di analisi 2
"mazzy89":
[quote="clrscr"]Magari può aiutarti...
$(del ((x^2*sign(x))/2))/(del x)=|x|$..ora, procedento per parti dovresti arrivare al risultato...
Ti ringrazio clrscr per l'aiuto ma la tua scrittura per me è un pò geroglifico dato che sono uno studente di analisi 1 e se non vado errato quelli sono simboli di derivata parziale qundi già cadiamo in pieno terreno di analisi 2[/quote]
O meglio....volevo dire che:
$|x|=sign(x)*x$ dove con $sign(x)$ indico la funzione segno di "x".
A questo punto l'integrale diventa:
$int x sign(x)*ln(1+x^2) dx$ ora per parti otteniamo:
$x^2/2*sign(x)*ln(1+x^2)-int x^2/2 * (2*x)/(1+x^2) dx$
L'integrale
$int x^3 /(1+x^3)=1/2*int x^2 *(2x)/(1+x^2) dx=1/2( ln(1+x^2)*x^2-int 2*x*ln(1+x^2))dx$.
L'ultimo integrale può essere risolto per sostituzione, ad esempio $alpha=1+x^2$ e $d alpha=2x*dx$
"clrscr":
[quote="mazzy89"][quote="clrscr"]Magari può aiutarti...
$(del ((x^2*sign(x))/2))/(del x)=|x|$..ora, procedento per parti dovresti arrivare al risultato...
Ti ringrazio clrscr per l'aiuto ma la tua scrittura per me è un pò geroglifico dato che sono uno studente di analisi 1 e se non vado errato quelli sono simboli di derivata parziale qundi già cadiamo in pieno terreno di analisi 2[/quote]
O meglio....volevo dire che:
$|x|=sign(x)*x$ dove con $sign(x)$ indico la funzione segno di "x".
A questo punto l'integrale diventa:
$int x sign(x)*ln(1+x^2) dx$ ora per parti otteniamo:
$x^2/2*sign(x)*ln(1+x^2)-int x^2/2 * (2*x)/(1+x^2) dx$
L'integrale
$int x^3 /(1+x^3)=1/2*int x^2 *(2x)/(1+x^2) dx=1/2( ln(1+x^2)*x^2-int 2*x*ln(1+x^2))dx$.
L'ultimo integrale può essere risolto per sostituzione, ad esempio $alpha=1+x^2$ e $d alpha=2x*dx$[/quote]
ecco ora mi è tutto chiaro. ti ringrazio tanto
Forse sbaglierò io...io ho semplicemente dedotto dalla definizione di modulo ossia:
$|x|=x$ per $x>0$
$|x|=-x$ per $x<0$
In questo modo andavo a risolvere i due integrali una volta con $x$ ed una volta con $-x$
L'integrale indefinito è un operatre lineare atto a detreminare la primitiva di quella funzione, non capisco quindi l'errore. In realta è come se io dessi due soluzioni, una tra $(-oo, 0)$ e l'altra tra $(0,+oo)$
Se comunque fosse giusta la tua risoluzione quella sostituzione non mi sembra corretta, poichè tu devi trovare $dx$ da andare a sostituire e non $da$....Infatti quell'integrale è risolvibile per parti se non erro...
$|x|=x$ per $x>0$
$|x|=-x$ per $x<0$
In questo modo andavo a risolvere i due integrali una volta con $x$ ed una volta con $-x$
L'integrale indefinito è un operatre lineare atto a detreminare la primitiva di quella funzione, non capisco quindi l'errore. In realta è come se io dessi due soluzioni, una tra $(-oo, 0)$ e l'altra tra $(0,+oo)$
Se comunque fosse giusta la tua risoluzione quella sostituzione non mi sembra corretta, poichè tu devi trovare $dx$ da andare a sostituire e non $da$....Infatti quell'integrale è risolvibile per parti se non erro...
"f.bisecco":
Forse sbaglierò io...io ho semplicemente dedotto dalla definizione di modulo ossia:
$|x|=x$ per $x>0$
$|x|=-x$ per $x<0$
In questo modo andavo a risolvere i due integrali una volta con $x$ ed una volta con $-x$
L'integrale indefinito è un operatre lineare atto a detreminare la primitiva di quella funzione, non capisco quindi l'errore. In realta è come se io dessi due soluzioni, una tra $(-oo, 0)$ e l'altra tra $(0,+oo)$
Se comunque fosse giusta la tua risoluzione quella sostituzione non mi sembra corretta, poichè tu devi trovare $dx$ da andare a sostituire e non $da$....Infatti quell'integrale è risolvibile per parti se non erro...
Andando a risolvere i due integrali prima con $x>0$ e poi con $x<0$ e poi sommando le due soluzioni ottengo un valore totalmente diverso da quello dell'integrale $int |x|log(1+x^2)$. Basta calcolarlo con qualsiasi programma.Invece do molto valore alla tesi di clrsrc che l'ha svolto tramite l'uso della funzione signum
Oltre al confronto con i programmi di calcolo, vorrei una spiegazione teorica per risolvere la mia incertezza...
Forse sto sbagliando, ma vorrei ribadire la mia tesi:
Con Derive ottengo questi risultati:
$int|x|ln(1 + x^2)=sign(x)(((x^2 + 1)ln(x^2 + 1))/2 - x^2/2)$
Vorrei ricordare che la funzione $sign(x)$ è così esplicitata:
$sign(x)=1$ per $x>0$
$sign(x)=0$ per $x=0$
$sign(x)=-1$ per $x<0$
Detto questo provo a risolvere i due integrali separatamente, per $x>0$ e per $x<0$ e ottengo:
per $x>0$ $intxln(1 + x^2)=1*(((x^2 + 1)ln(x^2 + 1))/2 - x^2/2)$
per $x<0$ $int-xln(1 + x^2)=-1*(((x^2 + 1)ln(x^2 + 1))/2 - x^2/2)$
Giungo così alla conclusione che il metodo da me proposto non sia poi così scorretto...
Con Derive ottengo questi risultati:
$int|x|ln(1 + x^2)=sign(x)(((x^2 + 1)ln(x^2 + 1))/2 - x^2/2)$
Vorrei ricordare che la funzione $sign(x)$ è così esplicitata:
$sign(x)=1$ per $x>0$
$sign(x)=0$ per $x=0$
$sign(x)=-1$ per $x<0$
Detto questo provo a risolvere i due integrali separatamente, per $x>0$ e per $x<0$ e ottengo:
per $x>0$ $intxln(1 + x^2)=1*(((x^2 + 1)ln(x^2 + 1))/2 - x^2/2)$
per $x<0$ $int-xln(1 + x^2)=-1*(((x^2 + 1)ln(x^2 + 1))/2 - x^2/2)$
Giungo così alla conclusione che il metodo da me proposto non sia poi così scorretto...
Più semplicemente, senza stare a fare la seconda sostituzione, io scriverei:
$int(x^3/(1+x^2))dx = int(x - x/(1+x^2))dx= x^3/3 -1/2 log(1+x^2)$
$int(x^3/(1+x^2))dx = int(x - x/(1+x^2))dx= x^3/3 -1/2 log(1+x^2)$
"f.bisecco":
Oltre al confronto con i programmi di calcolo, vorrei una spiegazione teorica per risolvere la mia incertezza...
Be il calcolo di un integrale indefinito stia nel fatto di andar a trovare l'insieme delle primitive della funzione data. ora dividere i casi in $x>0$ e $x<0$ vuol dire andare a studiare la funzione in due intervalli. ciò si fa nel caso di un integrale definito dove si chiede di trovare l'area sottesa al grafico della funzione
Ma il risultato è equivalente..scrivere $sign(x)$ o scrivere come ho scritto io la soluzione è chiaramente uguale!!Sta proprio nella definizione di funzione $sign(x)$ la divisione dell'intervallo non l'ho mica postulata io...Solo che io invece di dirlo con la funzione segno l'ho esplicitato...
"f.bisecco":
Ma il risultato è equivalente..scrivere $sign(x)$ o scrivere come ho scritto io la soluzione è chiaramente uguale!!Sta proprio nella definizione di funzione $sign(x)$ la divisione dell'intervallo non l'ho mica postulata io...Solo che io invece di dirlo con la funzione segno l'ho esplicitato...
ebbene si mi hai convinto.Ora me ne sono reso conto.ero io che prima non me ne rendevo conto che era la stessa cosa.grazie 1000 f.bisecco
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