Integrale indefinito con integrazioni per parti

[unit1]

Salve,
Stavo facendo questo integrale ma non lo capisco:

$I=\int xlog(1+sqrt(x)) DX=$

Suggerimento: porre $T=sqrt(x)$, poi integrare per parti, poi applicare la divisione euclidea e/o ruffini

Mio tentativo:
ora se $T=sqrt(x)$ allora $x=T^2$ ed $x'(x)=(dx)/(dT) <=> dx=2TdT$

Sostituiamo $x$ e $T$

$I=\int T^2 log(1+T) 2TdT=$ Ora spostiamo il $2T$
$I=2\int T^3 log(1+T) dT=$ Ora applichiamo l'integrazione per parti:

$=2\int ((T^4)/4)' * log(1+T) dT=2 * (T^4)/4 log(1+T) - 2 int (T^4)/4 1/(1+T) dT=$
$=2\int ((T^4)/4)' * log(1+T) dT= (T^4)/2 log(1+T) - 2 int (T^4)/4 1/(1+T) dT=$

Dove $T^4/4$ dovrebbe venir da $int x^a dx= x^(a+1)/(a+1)$ se non sbaglio.

ora il prof continua con:

$= (T^4)/2 log(1+T) - 1/2 int (T^4)/(1+T) dT=$

e io non capisco perchè, mi sapreste aiutare?

[pater46]

come perchè.. nel tuo ultimo integrale hai un 2 a moltiplicare ed un 4 a dividere, dunque portando fuori $1/4$ hai $2/4 = 1/2$.

Ma forse non ho capito cosa non ti è chiaro

[unit1]

Ah, avevo sbagliato a scrivere sul quaderno non lo ha visto. Grazie


mi diresti se c'è qualche fesseria fra le mie spiegazioni, come il modo per arrivare ad $T^4/2$, perfavore?

[pater46]

No, sembra tutto in regola. Sostituzione e risoluzione per parti.. Giusta l'osservazione sul $T^4/4$.

Integri $int t^3 = t^4/4$ e derivi $ D ln(1+t) = 1/(1+t)$