Integrale indefinito con Integrazione per sostituzione
Salve!
Stavo cercando di risolvere il seguente integrale indefinito: $ \int sqrt(1-x^2)$
Ho utlizzato il metodo di Integrazione per Sostituzione, sostituendo la $ x = sin(y) $ e $ \text{d}x = cos(y) \text{d}y$.
I passaggi successivi:
$ \int sqrt(1-sen^2(y))*cos(y) \text{d}y $
$ \int cos(y)*cos(y) \text{d}y $
$ \int cos^2(y) \text{d}y $
Da questo punto non capisco se bisogna prendere il risultato di questo integrale, ovvero $\frac{1}{2} * sen(y)*cos(y)+y+c$ e sostituire la variabile $y$ al contrario oppure se bisogna procedere in un altro modo...
Grazie!
Stavo cercando di risolvere il seguente integrale indefinito: $ \int sqrt(1-x^2)$
Ho utlizzato il metodo di Integrazione per Sostituzione, sostituendo la $ x = sin(y) $ e $ \text{d}x = cos(y) \text{d}y$.
I passaggi successivi:
$ \int sqrt(1-sen^2(y))*cos(y) \text{d}y $
$ \int cos(y)*cos(y) \text{d}y $
$ \int cos^2(y) \text{d}y $
Da questo punto non capisco se bisogna prendere il risultato di questo integrale, ovvero $\frac{1}{2} * sen(y)*cos(y)+y+c$ e sostituire la variabile $y$ al contrario oppure se bisogna procedere in un altro modo...
Grazie!
Risposte
Sì, certo che bisogna sostituire a ritroso…
Ovviamente, dovrai anche manipolare algebricamente il risultato sfruttando le relazioni della Trigonometria.
Ovviamente, dovrai anche manipolare algebricamente il risultato sfruttando le relazioni della Trigonometria.
Ciao _Peppe03,
Occhio che il risultato che hai scritto è errato, infatti si ha:
$\int cos^2(y) \text{d}y = \int \frac{1 + cos(2y)}{2} \text{d}y = 1/2 \int \text{d}y + 1/2 \int cos(2y) \text{d}y = $
$ = y/2 + 1/4 sin(2y) + c = y/2 + 1/4 \cdot 2 sin(y)cos(y) + c = y/2 + 1/2 sin(y)cos(y) + c = $
$ = 1/2[y + sin(y) cos(y)] + c = 1/2[arcsin(x) + sin arcsin(x) \cdot cosarcsin(x)] + c = $
$ = 1/2[arcsin(x) + x \sqrt{1 - x^2}] + c $
Più in generale si ha:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} \text{d}x = 1/2 [a^2 arcsin(x/a) + x \sqrt{a^2 - x^2}] + c $
L'integrale proposto si ottiene da quest'ultimo con $a = 1 $.
"_Peppe03":
[...] il risultato di questo integrale, ovvero $1/2⋅sen(y)⋅cos(y)+y+c $
Occhio che il risultato che hai scritto è errato, infatti si ha:
$\int cos^2(y) \text{d}y = \int \frac{1 + cos(2y)}{2} \text{d}y = 1/2 \int \text{d}y + 1/2 \int cos(2y) \text{d}y = $
$ = y/2 + 1/4 sin(2y) + c = y/2 + 1/4 \cdot 2 sin(y)cos(y) + c = y/2 + 1/2 sin(y)cos(y) + c = $
$ = 1/2[y + sin(y) cos(y)] + c = 1/2[arcsin(x) + sin arcsin(x) \cdot cosarcsin(x)] + c = $
$ = 1/2[arcsin(x) + x \sqrt{1 - x^2}] + c $
Più in generale si ha:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} \text{d}x = 1/2 [a^2 arcsin(x/a) + x \sqrt{a^2 - x^2}] + c $
L'integrale proposto si ottiene da quest'ultimo con $a = 1 $.
Ti mostro la procedura che ho usato per calcolare l'integrale di $\int cos^2(x)dx$
Ho utilizzato l'integrazione per parti.
Questo integrale si puo' scrivere come $\int cos(x)*cos(x)dx$
Successivamente uso come $f(x) = cos(x)$ e $g'(x) = cos(x)$ con $f'(x) = -sen(x)$ e $g(x) = sen(x)$
Uso l'integrazione per parti:
$sen(x)*cos(x)-\int(-sen(x))*sen(x)dx$
$= sen(x)*cos(x)+\intsen^2(x)dx$
Usando la formula generale della trigonometria:
$= sen(x)*cos(x)+\int(1-cos^2)dx$
$= sen(x)*cos(x)+\intdx-\intcos^2(x)dx$
$= sen(x)*cos(x)+x-\intcos^2(x)$
Sposto l'integrale dall'altra parte e faccio la somma:
$\intcos^2(x)dx +\intcos^2(x)dx = sen(x)*cos(x)+x$
$2\intcos^2(x)dx = sen(x)*cos(x)+x$
Divido tutto per 2:
$\intcos^2(x)dx= \frac{1}{2} sen(x)*cos(x)+x+c$
E' corretto?
Ho utilizzato l'integrazione per parti.
Questo integrale si puo' scrivere come $\int cos(x)*cos(x)dx$
Successivamente uso come $f(x) = cos(x)$ e $g'(x) = cos(x)$ con $f'(x) = -sen(x)$ e $g(x) = sen(x)$
Uso l'integrazione per parti:
$sen(x)*cos(x)-\int(-sen(x))*sen(x)dx$
$= sen(x)*cos(x)+\intsen^2(x)dx$
Usando la formula generale della trigonometria:
$= sen(x)*cos(x)+\int(1-cos^2)dx$
$= sen(x)*cos(x)+\intdx-\intcos^2(x)dx$
$= sen(x)*cos(x)+x-\intcos^2(x)$
Sposto l'integrale dall'altra parte e faccio la somma:
$\intcos^2(x)dx +\intcos^2(x)dx = sen(x)*cos(x)+x$
$2\intcos^2(x)dx = sen(x)*cos(x)+x$
Divido tutto per 2:
$\intcos^2(x)dx= \frac{1}{2} sen(x)*cos(x)+x+c$
E' corretto?
Tutto corretto fino all'ultimo passaggio, se dividi tutto per $2$ allora devi dividere anche la $x$ al membro di destra; ossia risulta
$$2 \int \cos^2 x \text{d}x = \sin x \cos x + x + c \Leftrightarrow \int \cos^2 x \text{d}x = \frac{1}{2}(\sin x \cos x + x) + c$$
(Non ho scritto $\frac{c}{2}$ al membro di destra perché $\frac{c}{2}$ è ancora una costante e quindi si continua a chiamarla $c$).
$$2 \int \cos^2 x \text{d}x = \sin x \cos x + x + c \Leftrightarrow \int \cos^2 x \text{d}x = \frac{1}{2}(\sin x \cos x + x) + c$$
(Non ho scritto $\frac{c}{2}$ al membro di destra perché $\frac{c}{2}$ è ancora una costante e quindi si continua a chiamarla $c$).
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