Integrale indefinito col cosx

[TheGabbo]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in un integrale indefinito:
Integrale di (cosx/(2+cosx)), sul quale mi sono impantanato.
Onestamente penso che bisogna fare un qualche tipo di sostituzione, ma non riesco a capire quale.

Ringrazio in anticipo tutti coloro che mi daranno una mano!

[quantunquemente]

prima di tutto,osserva che l'integrando si può scrivere $1-2/(cosx+2)$
l'integrale $int1/(cosx+2)dx$ lo risolvi con la sostituzione $tgx/2=t$

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Forse potresti provare con le formule parametriche.

Ponendo $t=tg(x/2)$, avresti che $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$

Saluti.

[Lo_zio_Tom]

"quantunquemente":prima di tutto,osserva che l'integrando si può scrivere $1-2/(cosx+2)$
l'integrale $int1/(cosx+2)dx$ lo risolvi con la sostituzione $tgx/2=t$

appoggio in pieno la scomposizione di Quantunquemente . Sembra un integrale tanto docile ma, per risolverlo in maniera furba, occorre saper maneggiare piuttosto bene le espressioni trigonometriche. Se nessuno se la prende proporrei i vari passaggi, senza utilizzare la sostituzione $tgx/2=t$ come un dogma ma mostrando il "perché" di tale oculata scelta; per quanto riguarda la soluzione tramite formule parametriche diciamo che funziona sempre ma non è certo fra le mie preferite (de gustibus)

Dunque procediamo dalla scomposizione proposta:

$int cosx/(cosx+2) dx =int(1-2/(cosx+2))dx=x-2int1/(cosx+2)dx=x-I$

osserviamo innanzitutto che: $cos(2x)=cos^2x-sin^2x rarr cosx+1=2cos^2(x/2)$ quindi l'integrale $I$ diventa:

$I=2int1/(2cos^2(x/2)+1)dx=4int1/(2cos^2(x/2)+1)d(x/2)=4int(1/(2cos^2(x/2)))/(1+1/(2cos^2(x/2)))d(x/2)=$

$=2int1/(1+1/(2cos^2(x/2)))dtan(x/2)=2int1/(1+1/2(tan^2(x/2)+1))dtan(x/2)=$

$=4int1/(2+tan^2(x/2)+1)dtan(x/2)=4int1/(3+tan^2(x/2))dtan(x/2)=$

$=4sqrt(3)/3int1/(1+tan^2((x/2)/sqrt(3)))dtan((x/2)/sqrt(3))=4sqrt(3)/3arctan(tan(x/2)/sqrt(3))+C$

in definiva l'integrale diventa:

$ intcosx/(cosx+2)dx=x-4sqrt(3)/3arctan(tan(x/2)/sqrt(3))+C$

(sperando di non aver fatto errori di calcolo....)

[TheGabbo]

Scusate se vi rispondo solo, ora, son stato molto impegnato e ho provato a svolgere l' integrale sotto i vostri consigli, il quale è riuscito pienamente!!!
Era abbastanza semplice, il tutto stava nel vedere la sostituzione, cosa che a me non è riuscita
Grazie mille a tutti!!
P.s.
Tommik, nessun errore di calcolo, ti è uscito bene