Integrale indefinito
Salve a tutti, oggi ho incontrato un integrale di questo tipo in geometria, ma trovo qualche difficoltà nel risolverlo...
$\int sqrt(1-cos(x))dx$
Il punto è che non ho proprio idea di come provare a risolverlo, quindi volere chiedere a voi uno spunto generale, da cui partire per risolvere integrali di questo tipo ( avevo pensato ad una sostituzione ma il problema è trovare quella opportuna)
$\int sqrt(1-cos(x))dx$
Il punto è che non ho proprio idea di come provare a risolverlo, quindi volere chiedere a voi uno spunto generale, da cui partire per risolvere integrali di questo tipo ( avevo pensato ad una sostituzione ma il problema è trovare quella opportuna)
Risposte
Prova con $t=tan(x/2)$. Hai $cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)$ e $dx= d(2arctan(t))= 2/(1+t^2) dt$
Oppure conviene sfruttare la formula di bisezione: $sin(x/2) = sqrt((1-cos(x))/2)$
Oppure conviene sfruttare la formula di bisezione: $sin(x/2) = sqrt((1-cos(x))/2)$
Ciao, scusate se mi intrometto, avevo letto un momento prima della risposta di Gi8 e stavo per proporre questo:
[tex]\sqrt{1-\cos x}=\sqrt{1-\cos x}\cdot \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\left | \sin x \right |}{\sqrt{1+\cos x}}[/tex]
che porta ad una sostituzione immediata, ma contiene il problema del modulo che obbliga, in assenza di condizioni che permettano di eliminarlo, a portarsi dietro fino alla fine un segno [tex]\pm[/tex]. Cosa che peraltro si verifica anche quando si usasse la formula di bisezione, che in ogni caso prevede quel [tex]\pm[/tex], oppure le formule parametriche (si arriva ad un: [tex]\sqrt{t^2}[/tex]).
[tex]\sqrt{1-\cos x}=\sqrt{1-\cos x}\cdot \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\left | \sin x \right |}{\sqrt{1+\cos x}}[/tex]
che porta ad una sostituzione immediata, ma contiene il problema del modulo che obbliga, in assenza di condizioni che permettano di eliminarlo, a portarsi dietro fino alla fine un segno [tex]\pm[/tex]. Cosa che peraltro si verifica anche quando si usasse la formula di bisezione, che in ogni caso prevede quel [tex]\pm[/tex], oppure le formule parametriche (si arriva ad un: [tex]\sqrt{t^2}[/tex]).
Quindi ottengo:
$\int sqrt(1-(1-t^2)/(1+t^2))*2/(1+t^2)dt$
$2\int sqrt((2t^2)/(1+t^2))*1/(1+t^2)dt$
$2\int sqrt(2t^2)*(1/(1+t^2))^(3/2)dt$
Da qui ammesso che sia giusto non so come proseguire
$\int sqrt(1-(1-t^2)/(1+t^2))*2/(1+t^2)dt$
$2\int sqrt((2t^2)/(1+t^2))*1/(1+t^2)dt$
$2\int sqrt(2t^2)*(1/(1+t^2))^(3/2)dt$
Da qui ammesso che sia giusto non so come proseguire
"Palliit":
Ciao, scusate se mi intrometto, avevo letto un momento prima della risposta di Gi8 e stavo per proporre questo:
[tex]\sqrt{1-\cos x}=\sqrt{1-\cos x}\cdot \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\left | \sin x \right |}{\sqrt{1+\cos x}}[/tex]
che porta ad una sostituzione immediata, ma contiene il problema del modulo che obbliga, in assenza di condizioni che permettano di eliminarlo, a portarsi dietro fino alla fine un segno [tex]\pm[/tex]. Cosa che peraltro si verifica anche quando si usasse la formula di bisezione, che in ogni caso prevede quel [tex]\pm[/tex], oppure le formule parametriche (si arriva ad un: [tex]\sqrt{t^2}[/tex]).
Si tratta di un integrale definito in realtà, di estremi $0$ e $\pi/2$ quindi si può eliminare in qualche modo credo
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