Integrale indefinito

[ballo1]

Ciao ragazzi mi sono imbattuto in questo integrale:
$\int tan^(1/2)x * tan^2 x + tan^(1/2)x dx$

allora io ho raccolto la radice di tanx e poi ho operato la sostituzione t=tanx. Ora ho un dubbio: come si fà il cambio di derivata(non sò com'è il termine tecnico) da dx a dt in questo caso?

ho provato così: $dx/(1+x^2)=dt$ solo che non essendo presente nell'integrale di partenza $1/(1+x^2)$ dovrei portare il denominatore $1+x^2$ al numeratore di dt e qui sorge il mio dubbio, come faccio a portare la x in dt? ho pensato di isolare la x facendo: $tanx=t$--> $arctan(x)*tan(x)=t*arctan(???)$ --> $x= t* arctan(???)$ solo che non sò cosa mettere nell'argomento dell' arcotangente.
scusate se sono stato confusionario ma stavo riflettendo mentre scrivevo (questo non vuol dire che ho pensieri confusi)

[Phoenyx]

Ciao!
Guarda c'è un metodo molto rapido per risolverlo:
$\int tan^(1/2)x * (tan^2x +1) dx$

Ora puoi notare che $(tan^2x +1)$ è un modo dei modi di scrivere la derivata prima di $tanx$
quindi puoi riscrivere l'integrale nella forma:
$\int f(x) ^(1/2)* f'(x) dx$

e puoi integrare subito così:

$=2/3 * f(x)^(3/2)$ ---> $2/3 * tan^(3/2)(x)$

[ballo1]

si il raccoglimento iniziale l'avevo fatto..non ho considerato il fatto di trasformare tanx= senx/cosx e fare la derivata del rapporto..già già non l'avevo notato
grazie mi hai risolto un dilemma che mi arrovellava da giorni