Integrale Indefinito
salve a tutti , non riesco a risolvere quest'integrale indefinito. Ho provato per parti , ma non riesco ad integrare la seconda parte!
$\int arctan(\frac{sqrt{x}}{\sqrt{x-1}})$
$\int arctan(\frac{sqrt{x}}{\sqrt{x-1}})$
Risposte
Se l'integrale è questo $\int \frac{x}{x-1}dx$ non è di difficile risoluzione:
integri per parti, considerando $f' = 1/(x-1) -> f = ln (x-1)$ e $g =x -> g' = 1$
quindi hai
$\int \frac{x}{x-1}dx = xln (x-1) - $\int ln (x-1)dx$
quest'ultimo integrale è immediato...
integri per parti, considerando $f' = 1/(x-1) -> f = ln (x-1)$ e $g =x -> g' = 1$
quindi hai
$\int \frac{x}{x-1}dx = xln (x-1) - $\int ln (x-1)dx$
quest'ultimo integrale è immediato...
scusate , ma ho scritto male l'integrale è
$\int arctan\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$
$\int arctan\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$
Puoi scriverlo mettendo tutto tra due simboli di dollaro ?
così viene la formula e si capisce che integrale è. Questa volta dovrebbe essere:
$\int arctansqrt(x/(x-1)) dx$ ?
la radice quadrata è di tutto, non solo di x, però non mi viene con le formule dei dollari...
così viene la formula e si capisce che integrale è. Questa volta dovrebbe essere:
$\int arctansqrt(x/(x-1)) dx$ ?
la radice quadrata è di tutto, non solo di x, però non mi viene con le formule dei dollari...
non ci sto capendo niente, l'integrale giusto è
$int(sqrt(x)/(x-1)dx$?
$int(sqrt(x)/(x-1)dx$?
non è quello , scusami ma ho incasinato un po' con la scrittura dell'integrale.
Lo riscrivo per sicurezza
$\int arctan\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$
Lo riscrivo per sicurezza
$\int arctan\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$
ehm forse sbaglio io a derivare , ma il secondo integrale mi viene cosi $\frac{1}{2} * \int x * \frac{sqrt{x-1}}{sqrt{x}} * \frac {-1}{x-1}
ok allora si risolve comunque per parti:
la funzione da integrare è $1$, quella da derivare è $arctan (sqrt(x)/sqrt(x-1))$
la derivata della funzione $arctan(f(x))$ è $1/(1+f(x)^2) * f'(x) = 1/(1 + x/(x-1)) *(sqrt(x-1)/2sqrt(x)) *(x-1-x)/(x-1)^2$
L'integrale diventerà allora
$xarctan (sqrt(x)/sqrt(x-1)) - 1/2\int 1/(1 + x/(x-1)) *(sqrt(x-1)/sqrt(x)) *(x-1-x)/(x-1)^2dx$
Questo integrale, facendo le dovute semplificazioni, diventa (se non ho sbagliato conti)
$-1/2\int sqrt(x)/((2x-1)(sqrt(x-1))) dx$
Fin qui torna?
la funzione da integrare è $1$, quella da derivare è $arctan (sqrt(x)/sqrt(x-1))$
la derivata della funzione $arctan(f(x))$ è $1/(1+f(x)^2) * f'(x) = 1/(1 + x/(x-1)) *(sqrt(x-1)/2sqrt(x)) *(x-1-x)/(x-1)^2$
L'integrale diventerà allora
$xarctan (sqrt(x)/sqrt(x-1)) - 1/2\int 1/(1 + x/(x-1)) *(sqrt(x-1)/sqrt(x)) *(x-1-x)/(x-1)^2dx$
Questo integrale, facendo le dovute semplificazioni, diventa (se non ho sbagliato conti)
$-1/2\int sqrt(x)/((2x-1)(sqrt(x-1))) dx$
Fin qui torna?
ora si , riscrivo il mio procedimento in ogni caso
$x arctan(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}) + \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x^2 - x}}{(2x-1)*(x-1)}
$x arctan(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}) + \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x^2 - x}}{(2x-1)*(x-1)}
Ok il procedimento è decisamente lungo però funziona, ti scrivo solo quello che devi fare perché i conti son lunghi da scrivere in linguaggio mathml:
considera l'integrale :
$\int sqrt(x)/((2x-1)sqrt(x-1))dx$
lavora per parti, considerando da derivare la funzione
$sqrt(x)$ e da integrare la funzione $1/((2x-1)sqrt(x-1))$
L'integrale di quest'ultima funzione si risolve ponendo $x-1 = y^2$. Dovrebbe venirti una roba del tipo $\int(2/(y(2y^2+1)) = 2int (1/y - 2y/(2y^2+1)) = 2 ln y - ln (y^2+1) = 2ln (sqrt(x-1)) - ln (x)$
Ora quando vai a fare l'integrale finale ottieni
$\int (2ln (sqrt(x-1)) - ln (x))/(2sqrt(x)) dx$
questo integrale lo risolvi ponendo $sqrt x = y -> dy = 1 / (2sqrt(x)) dx$
quindi alla fine devi risolvere
$\int 2 ln (sqrt(y^2-1)) - ln (y^2)$
Il secondo si risolve facilmente, per il primo basta risolverlo per parti:
$\int ln (y^2-1) = yln(y^2-1) - int(2y^2/(y^2-1))dy$
Modulo errori di calcolo o segni dovrebbe andare tutto bene...
considera l'integrale :
$\int sqrt(x)/((2x-1)sqrt(x-1))dx$
lavora per parti, considerando da derivare la funzione
$sqrt(x)$ e da integrare la funzione $1/((2x-1)sqrt(x-1))$
L'integrale di quest'ultima funzione si risolve ponendo $x-1 = y^2$. Dovrebbe venirti una roba del tipo $\int(2/(y(2y^2+1)) = 2int (1/y - 2y/(2y^2+1)) = 2 ln y - ln (y^2+1) = 2ln (sqrt(x-1)) - ln (x)$
Ora quando vai a fare l'integrale finale ottieni
$\int (2ln (sqrt(x-1)) - ln (x))/(2sqrt(x)) dx$
questo integrale lo risolvi ponendo $sqrt x = y -> dy = 1 / (2sqrt(x)) dx$
quindi alla fine devi risolvere
$\int 2 ln (sqrt(y^2-1)) - ln (y^2)$
Il secondo si risolve facilmente, per il primo basta risolverlo per parti:
$\int ln (y^2-1) = yln(y^2-1) - int(2y^2/(y^2-1))dy$
Modulo errori di calcolo o segni dovrebbe andare tutto bene...
grazie di tutto ora ci riprovo! , diciamo che a prima vista non sembrava un integrale cosi difficile 
Correggo un errore appena trovato, che però non è tanto grave per quanto riguarda il procedimento:
In realtà l'integrale dovrebbbe venirti una roba del tipo:
$2\int 1/(2y^2+1)dy = arctan(sqrt2x)/sqrt(2)$
Questo tra l'altro cambia un bel po' l'integrale finale, facendolo diventare, dopo la solita sostituzione $y=sqrtx$
$1/(2sqrt2)\int arctan(sqrt2y^2)$
che risolto per parti da:
$yarctan(sqrt2y^2) - sqrt2\int y/(1+2y^4)dy$
quest'ultimo integrale di nuovo si risolve ponendo $y^2 = t -> t = sqrt y$
Ottenendo infine
$\intsqrtt/(2sqrtt(1+2t^2))dt = \int 1/(1+2t^2)dt$
Insomma 'na faticaccia...
"Zkeggia":
L'integrale di quest'ultima funzione si risolve ponendo $x-1 = y^2$. Dovrebbe venirti una roba del tipo $\int(2/(y(2y^2+1)) = 2int (1/y - 2y/(2y^2+1)) = 2 ln y - ln (y^2+1) = 2ln (sqrt(x-1)) - ln (x)$
In realtà l'integrale dovrebbbe venirti una roba del tipo:
$2\int 1/(2y^2+1)dy = arctan(sqrt2x)/sqrt(2)$
Questo tra l'altro cambia un bel po' l'integrale finale, facendolo diventare, dopo la solita sostituzione $y=sqrtx$
$1/(2sqrt2)\int arctan(sqrt2y^2)$
che risolto per parti da:
$yarctan(sqrt2y^2) - sqrt2\int y/(1+2y^4)dy$
quest'ultimo integrale di nuovo si risolve ponendo $y^2 = t -> t = sqrt y$
Ottenendo infine
$\intsqrtt/(2sqrtt(1+2t^2))dt = \int 1/(1+2t^2)dt$
Insomma 'na faticaccia...
ok , dopo un paio di sostituzioni si riesce a venirne a capo 
appena ho voglia e tempo ricopio il mio procedimento!
appena ho voglia e tempo ricopio il mio procedimento!
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