Integrale indefinito

[andre85-votailprof]

Qualcuno potrebbe risolvere, se è possibile, questo integrale:

[MaMo2]

Basta porre $e^x=t$.

[_nicola de rosa]

"andre85":Qualcuno potrebbe risolvere, se è possibile, questo integrale:

$e^(3x)-e^x=e^x(e^(2x)-1)=e^x(e^x-1)(e^x+1)$

per cui

$(e^x+1)/(e^(3x)-e^x)=1/(e^x(e^x-1))$

ora $e^x=t->x=lnt->dx=(dt)/t$ ed ora prosegui

[andre85-votailprof]

Sostituendo si ha:

$1/(T(T-1))$

giusto?

[cozzataddeo]

Attenzione: quando sostituisci il $dx$ non devi semplicemente mettere $dt$ ma, come ha indicato Nicola De Rosa, la sostituzione che fai implica che si abbia
$dx=1/tdt$
perciò l'integrale diventa
$int1/(e^x(e^x-1))dx=int1/(t(t-1))*1/tdt=int1/(t^2(t-1))dt$

EDIT: ho corretto un segno sbagliato a denominatore.

[andre85-votailprof]

Perfetto!!.. Ora ci siamo

[andre85-votailprof]

Risolvendo ottengo -1/T * ln|T-1|

Ora, se è giusto, dovrei sostituire i valori... Quando dovrebbe risultare questo integrale di preciso?

[Camillo]

Non è corretto , devi trasformare $1/(t^2(t+1) $ nella somma di frazioni del tipo $(A+Bt)/t^2 +C/(t+1) $ etc

[andre85-votailprof]

"Camillo":Non è corretto , devi trasformare $1/(t^2(t+1) $ nella somma di frazioni del tipo $(A+Bt)/t^2 +C/(t+1) $ etc

Io ho fatto integrale di 1/T^2 * integrale di 1/T-1 ...Ho sbagliato?? Come sarebbe la forma corretta... Help me!!..

[Camillo]

"andre85":[quote="Camillo"]Non è corretto , devi trasformare $1/(t^2(t+1) $ nella somma di frazioni del tipo $(A+Bt)/t^2 +C/(t+1) $ etc

Io ho fatto integrale di 1/T^2 * integrale di 1/T-1 ...Ho sbagliato?? Come sarebbe la forma corretta... Help me!!..[/quote]

Attento è un errore grave

L'integrale di un prodotto di due funzioni non è il prodotto degli integrali delle singole funzioni, sarebbe troppo bello.
Devi rimaneggiare la funzione integranda in mondo da trasformarla nella somma di due funzioni facilmente integrabili .
Allora infatti l'integrale della somma è la somma degli integrali , essendo l'integrazione una operazione lineare.

[andre85-votailprof]

No è equivalente scrivere: 1/T^2 * 1/T-1 e eseguire gli integrali immediati?

Ragazzi se sbaglio illustratemi voi il passaggio perchè sennò ne esco matto

[_nicola de rosa]

"andre85":No è equivalente scrivere: 1/T^2 * 1/T-1 e eseguire gli integrali immediati?

Ragazzi se sbaglio illustratemi voi il passaggio perchè sennò ne esco matto

te lo ha detto già Camillo.
scrivi in questo modo l'integrando:

$1/(t^2(t-1))=A/(t^2)+B/t+C/(t-1)$

Ora fai il minimo comune multiplo ottenendo:

$A(t-1)+Bt(t-1)+Ct^2=1->t^2(B+C)+t(A-B)-A=1$ e per l'identità dei polinomi hai:

${(A=-1),(B+C=0),(A-B=0):}$ da cui ${(A=-1),(B=-1),(C=1):}$

per cui

$1/(t^2(t-1))=-1/(t^2)-1/t+1/(t-1)$ ed ora l'integrazione è semplice

[andre85-votailprof]

Per caso risulta:

$e^-x-x+ln|e^x-1|+c$ ?? Mi sa che ho sbagliato..

[_nicola de rosa]

"andre85":Per caso risulta:

$e^-x-x+ln|e^x-1|+c$ ?? Mi sa che ho sbagliato..

sì, giusto