Integrale indefinito

[fabio 30]

come si risolve il seguente integrale

(x^3)/[(1+x)*(x^2-x+1)]

[goblyn]

Il denominatore è (svolgendo il prodotto) x^3+1. La frazione si può quindi riscrivere così:

1 - 1/[(1+x)(x^2-x+1)]

1 integrato dà x, occupiamoci di 1/[(1+x)(x^2-x+1)]. Possiamo scomporlo come:

A/(1+x) + (Bx+C)/(x^2-x+1)

Calcoliamo il numeratore:

Ax^2 -Ax +A + Bx +Bx^2 +C +Cx = (A+B)x^2 + (B-A+C)x + A+C

imponiamo

A+B=0
B-A+C=0
A+C=1

da cui

A = 1/3
B = -1/3
C = 2/3

Quindi:

(1/3)* [ 1/(x+1) + (-x+2)/(x^2-x+1)]


ora, 1/(x+1) integrato dà log(x+1). Il secondo addendo (-x+2)/(x^2-x+1) si può riscrivere:

(-1/2)[(2x-1)/(x^2-x+1) + 5/(x^2-x+1)]

il primo addendo integrato dà log(x^2-x+1).

Il secondo addendo diventa, ponendo t = [2/sqrt(3)]*(x-(1/2)):

(20/3)/(1+t^2).

Siccome x = (1/2) + (sqrt(3)/2)t allora dx = (sqrt(3)/2)dt. Inteegrando l'ultimo termine ottieni allora:

[10/sqrt(3)] * arctg(t) = [10/sqrt(3)]*arctg[[2/sqrt(3)]*(x-(1/2))]

non ti resta che mettere insieme i pezzi e aggiungere la costante arbitraria!