Integrale indefinito
Salve a tutti,
mi sto cimentando nello studio degli integrali e mi sono bloccato nello svolgimento di questo integrale:
[formule]\lmousetache(sin(x))/(cos(2x))[/formule]
penso possa essere utile usare la il metodo di sostituzione ma non saprei come procedere onestamente. Suggerimenti sullo sviluppo?
Grazie
mi sto cimentando nello studio degli integrali e mi sono bloccato nello svolgimento di questo integrale:
[formule]\lmousetache(sin(x))/(cos(2x))[/formule]
penso possa essere utile usare la il metodo di sostituzione ma non saprei come procedere onestamente. Suggerimenti sullo sviluppo?
Grazie
Risposte
Ciao fpita, benvenut* sul forum!
Purtroppo, le formule non si vedono bene. Per caso l'integrale è questo?
$$\int \frac{\sin x}{\cos(2x)} \text{d}x$$
Se sì, osserva che $\cos(2x)=\cos^2x -\sin^2x=\cos^2x-(1-\cos^2 x)=2\cos^2 x-1$ e successivamente poni $t=\cos x$.
Purtroppo, le formule non si vedono bene. Per caso l'integrale è questo?
$$\int \frac{\sin x}{\cos(2x)} \text{d}x$$
Se sì, osserva che $\cos(2x)=\cos^2x -\sin^2x=\cos^2x-(1-\cos^2 x)=2\cos^2 x-1$ e successivamente poni $t=\cos x$.
Grazie per la dritta, ho proceduto in questo modo (a partire dal tuo suggerimento):
$ int sin(x)/(2cos^2(x)-1 $
pongo $ cos(x)=t $ e quindi $ dt=-sin(x)dx $
da cui sviluppo il resto
$ -int -sin(x)/(2cos^2(x)-1)dx $
con la sostituzione:
$ -int 1/(2t^2-1)dt = -1/2int 2/(2t^2-1)dt = 1/2ln|(1+t)/(1-t)|+c $
e quindi mi basta poi rimettere al posto della $ t $ il valore in $ x $
O sbaglio?
Grazie ancora,
Francesco.
$ int sin(x)/(2cos^2(x)-1 $
pongo $ cos(x)=t $ e quindi $ dt=-sin(x)dx $
da cui sviluppo il resto
$ -int -sin(x)/(2cos^2(x)-1)dx $
con la sostituzione:
$ -int 1/(2t^2-1)dt = -1/2int 2/(2t^2-1)dt = 1/2ln|(1+t)/(1-t)|+c $
e quindi mi basta poi rimettere al posto della $ t $ il valore in $ x $
O sbaglio?
Grazie ancora,
Francesco.
$2t^2-1=(sqrt2t+1)(sqrt2t-1)$
Che fine ha fatto la $sqrt2$ ?
Che fine ha fatto la $sqrt2$ ?
Se tengo conto che $ 2t^2-1=(sqrt(2)t+1)(sqrt(2)t-1) $
posso scrivere: $ -int1/((sqrt(2)t)^2-1)dt $
e poi qui l'integrale notevole che più mi sembra avvicinarsi è:
$ int1/(a-bx^2)dx=1/(2sqrt(2))ln|(sqrt(ab)-bx)/(sqrt(ab)+bx)|+c $
ma, evidentemente errando, mi veniva più semplice applicarlo lasciando il $ 2 $ invece che la $ sqrt(2) $
non capisco dove sbaglio a questo punto!
Grazie ancora
posso scrivere: $ -int1/((sqrt(2)t)^2-1)dt $
e poi qui l'integrale notevole che più mi sembra avvicinarsi è:
$ int1/(a-bx^2)dx=1/(2sqrt(2))ln|(sqrt(ab)-bx)/(sqrt(ab)+bx)|+c $
ma, evidentemente errando, mi veniva più semplice applicarlo lasciando il $ 2 $ invece che la $ sqrt(2) $
non capisco dove sbaglio a questo punto!
Grazie ancora
Ti conviene capire da dove proviene quell'integrale notevole anziché memorizzarlo. Arrivati qui:
$$-\int \frac{1}{(\sqrt{2}t)^2-1}\text{d}t$$
Poniamo $\sqrt{2}t=s$, da cui $\text{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{d}s$. Perciò:
$$-\int \frac{1}{(\sqrt{2}t)^2-1}\text{d}t=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{s^2-1}\text{d}s=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{2}{(s+1)(s-1)}\text{d}s=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{s+1-s+1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\int \frac{s+1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s-\int \frac{s-1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s\right)$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\int \frac{1}{s-1}\text{d}s-\int \frac{1}{s+1}\text{d}s\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}} \left(\log|s-1|+c_1-(\log|s+1|+c_2)\right)$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{s-1}{s+1}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{s-1}{s+1}\right|^{-1}-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{s+1}{s-1}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{1+s}{-(1-s)}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{1+s}{1-s}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1+s}{1-s}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}s}{\sqrt{2}-\sqrt{2}s}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2}+2\cos x}{\sqrt{2}-2\cos x}\right|+C$$
Avendo posto $C=-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$ ed essendo tornati nella variabile $x$ tramite le uguaglianze $s=\sqrt{2}t=\sqrt{2}\cos x$.
Nel tuo integrale notevole mi pare ci sia un errore, ossia credo che sia invertito il segno nelle somme al numeratore e al denominatore, e che debba invece essere:
$$\int \frac{1}{a-bx^2}\text{d}x=\frac{1}{2\sqrt{2}} \log\left|\frac{\sqrt{ab}+bx}{\sqrt{ab}-bx}\right|+c$$
Quindi, o ti sei perso un segno meno che moltiplica (e che farebbe tornare il risultato per le proprietà del logaritmo) o c'è appunto un errore di segno. Infatti, il risultato ottenuto è proprio quello che ho scritto appena sopra per $a=1$ e $b=2$ perché:
$$-\int \frac{1}{2t^2-1}\text{d}t=\int\frac{1}{1-2t^2}\text{d}t=\left[\int\frac{1}{a-bt^2}\text{d}t\right]_{a=1 \\ b=2}$$
Con le parentesi quadre e il pedice intendo: "Espressione all'interno delle parentesi quadre calcolata in $a=1$ e $b=2$".
Non è necessario ricondurti a quell'integrale notevole, difatti le manipolazioni algebriche fatte per ricondursi ad esso sono state del tutto superflue; ci potevamo fermare a $-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log |\frac{\sqrt{2}\cosx-1}{\sqrt{2}\cosx-1}|+C$. Però, era per farti capire da dove proviene quel risultato generale.
Arrivato a $\frac{1}{s^2-1}$ puoi anche procedere col metodo dei fratti semplici, ma in questi casi puoi anche fare manipolazioni algebriche come ho fatto io per evitarlo.
$$-\int \frac{1}{(\sqrt{2}t)^2-1}\text{d}t$$
Poniamo $\sqrt{2}t=s$, da cui $\text{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{d}s$. Perciò:
$$-\int \frac{1}{(\sqrt{2}t)^2-1}\text{d}t=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{s^2-1}\text{d}s=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{2}{(s+1)(s-1)}\text{d}s=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{s+1-s+1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\int \frac{s+1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s-\int \frac{s-1}{(s+1)(s-1)}\text{d}s\right)$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\int \frac{1}{s-1}\text{d}s-\int \frac{1}{s+1}\text{d}s\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}} \left(\log|s-1|+c_1-(\log|s+1|+c_2)\right)$$
$$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{s-1}{s+1}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{s-1}{s+1}\right|^{-1}-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{s+1}{s-1}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{1+s}{-(1-s)}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{1+s}{1-s}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1+s}{1-s}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}s}{\sqrt{2}-\sqrt{2}s}\right|-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2}+2\cos x}{\sqrt{2}-2\cos x}\right|+C$$
Avendo posto $C=-\frac{c_1-c_2}{2\sqrt{2}}$ ed essendo tornati nella variabile $x$ tramite le uguaglianze $s=\sqrt{2}t=\sqrt{2}\cos x$.
Nel tuo integrale notevole mi pare ci sia un errore, ossia credo che sia invertito il segno nelle somme al numeratore e al denominatore, e che debba invece essere:
$$\int \frac{1}{a-bx^2}\text{d}x=\frac{1}{2\sqrt{2}} \log\left|\frac{\sqrt{ab}+bx}{\sqrt{ab}-bx}\right|+c$$
Quindi, o ti sei perso un segno meno che moltiplica (e che farebbe tornare il risultato per le proprietà del logaritmo) o c'è appunto un errore di segno. Infatti, il risultato ottenuto è proprio quello che ho scritto appena sopra per $a=1$ e $b=2$ perché:
$$-\int \frac{1}{2t^2-1}\text{d}t=\int\frac{1}{1-2t^2}\text{d}t=\left[\int\frac{1}{a-bt^2}\text{d}t\right]_{a=1 \\ b=2}$$
Con le parentesi quadre e il pedice intendo: "Espressione all'interno delle parentesi quadre calcolata in $a=1$ e $b=2$".
Non è necessario ricondurti a quell'integrale notevole, difatti le manipolazioni algebriche fatte per ricondursi ad esso sono state del tutto superflue; ci potevamo fermare a $-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log |\frac{\sqrt{2}\cosx-1}{\sqrt{2}\cosx-1}|+C$. Però, era per farti capire da dove proviene quel risultato generale.
Arrivato a $\frac{1}{s^2-1}$ puoi anche procedere col metodo dei fratti semplici, ma in questi casi puoi anche fare manipolazioni algebriche come ho fatto io per evitarlo.
Grazie Mephlip, adesso è molto più chiaro.
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