Integrale Indefinito

[Biagio2580]

Ciao raga , ho quest'integrale:
$ int (1+t^3)/(t(1+t^2))dt $

Come fa a passare a :

$ int (1+((1-t^2)/(t(1+t^2))))dt $ ?
Grazie in anticipo

[Mephlip]

È sbagliato, c'è un quadrato di troppo nel numeratore del secondo integrale che hai scritto.

Per ogni $t\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ è:
$$\frac{1+t^3}{t(1+t^2)}=\frac{1+t-t+t^3}{t(1+t^2)}=\frac{t+t^3}{t(1+t^2)}+\frac{1-t}{t(1+t^2)}$$
$$=\frac{t(1+t^2)}{t(1+t^2)}+\frac{1-t}{t(1+t^2)}=1+\frac{1-t}{t(1+t^2)}$$

[Biagio2580]

Grazie mille!!!

[gugo82]

@Biagio2580: C'è sicuramente spiegato sul tuo testo, ma anche i quei fogli che ti ho segnalato.
Ci hai dato uno sguardo?

[Biagio2580]

Si gugo82, è che a volte non capisco che vadano usati questi metodi

[gugo82]

"Biagio2580":Si gugo82, è che a volte non capisco che vadano usati questi metodi

Perché non hai capito quando si usano.
Leggi con attenzione... Anzi, alla fine di quegli appunti c'è pure una sorta di schema: l'hai guardato?

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

"Biagio2580":Ciao raga , ho quest'integrale:

$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))dt $

Come fa a passare a :[...]

Al di là di tutto, non mi pare molto produttivo il passaggio a quella forma al fine di risolvere l'integrale indefinito proposto...
Piuttosto noterei che si ha:

$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))\text{d}t = \int (1 + 1/t - (1 + t)/(1 + t^2))\text{d}t = \int \text{d}t + \int 1/t \text{d}t - \int 1/(1 + t^2)\text{d}t - 1/2 \int (2t)/(1 + t^2)\text{d}t = $
$ = t + ln|t| - arctan t - 1/2 ln(1 + t^2) + c $

[Biagio2580]

A che pagina è gugo82?

[Biagio2580]

"pilloeffe":
Piuttosto noterei che si ha:

$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))\text{d}t = \int (1 + 1/t - (1 + t)/(1 + t^2))\text{d}t = \int \text{d}t + \int 1/t \text{d}t - \int 1/(1 + t^2)\text{d}t - 1/2 \int (2t)/(1 + t^2)\text{d}t = $
$ = t + ln|t| - arctan t - 1/2 ln(1 + t^2) + c $

Come lo trasformi però?Anche perchè effettivamente diventa più semplice da calcolare.

[gugo82]

"Biagio2580":A che pagina è gugo82?

Era nel fascicolo di esercizi, qui: Appendice C a pag. 27.

[pilloeffe]

"Biagio2580":Come lo trasformi però?

Così:

$(1+t^3)/(t(1+t^2)) = (t^3 + t - t + 1)/(t(1+t^2)) = 1 - (t - 1)/(t(1 + t^2)) = 1 - (1 - 1/t)/(1 + t^2) = 1 - 1/(1 + t^2) + 1/(t(1 + t^2)) = $
$ = 1 - 1/(1 + t^2) + A/t + (Bt + C)/(1 + t^2) = 1 - 1/(1 + t^2) + (A(1 + t^2) + Bt^2 + Ct)/(t(1 + t^2)) = $
$ = 1 - 1/(1 + t^2) + ((A + B)t^2 + Ct + A)/(t(1 + t^2)) $

Per il principio d'identità dei polinomi si ottiene il sistema seguente:

${(A + B = 0),(C = 0),(A = 1):} $

da cui $A = 1$, $B = - 1$ e $C = 0 $ e quindi si ha:

$(1+t^3)/(t(1+t^2)) = 1 - 1/(1 + t^2) + 1/t - t/(1 + t^2) = 1 - 1/(1 + t^2) + 1/t - 1/2 (2t)/(1 + t^2) $

[gugo82]

Vabbé, ma perché proporre un metodo "esotico" ( )?

Quello standard funziona benissimo ed è sensatamente semplice in questo caso.

1. Visto che il grado del numeratore è $>=$ a quello del denominatore, bisogna scomporre il numeratore eseguendo la divisione col denominatore; tuttavia, dato che il denominatore è $t(1+t^2) = t + t^3$, basta sommare e sottrarre per ottenere:

$1+t^3 = t+t^3 + 1-t = 1*(t+t^3) + (1-t)$

cosicché:

(*) $(1+t^3)/(t(1+t^2)) = 1 + (1-t)/(t(1+t^2))$.

2. Rimane da scomporre in fratti la frazione $(1 - t)/(t(1+t^2))$, che ha (finalmente!) grado del numeratore $<$ di quello del denominatore.
Il denominatore è già scomposto nel prodotto di due fattori, uno di grado $1$ ed uno di grado $2$ con $Delta < 0$; i fratti semplici che corrispondono a tali fattori sono $A/t$ e $(Bt + C)/(1+t^2)$ ed i coefficienti sono da determinare in modo che risulti:

$(1-t)/(t(1+t^2)) = A/t + (Bt + C)/(1+t^2) <=> (1-t)/(t(1+t^2)) = ((A+B)t^2 + Ct + A)/(1+t^2) <=> \{(A+B=0), (C=-1), (A=1):} <=> \{(B=-1), (C=-1), (A=1):}$

quindi:

(**) $(1-t)/(t(1+t^2)) = 1/t - (t + 1)/(1+t^2)$.

3. Sostituendo (**) in (*) e poi (*) sotto il segno d'integrale si trova:

$int (1+t^3)/(t(1+t^2))\ "d" t = int [1 + 1/t - (t+1)/(1+t^2)]\ "d" t = t + log |t| - int t/(1+t^2)\ "d" t - int 1/(1+t^2)\ "d" t = t + log |t| - 1/2 log(1+t^2) - arctan t + c$.

[pilloeffe]

"gugo82":Vabbé, ma perché proporre un metodo "esotico" ( )?

Beh, perché il metodo "esotico" (come l'hai chiamato tu, il che non mi dispiace intendiamoci, anche se magari non standard sarebbe più indicato... ) è più semplice. A dire il vero nel mio post precedente, dove avevo già risolto l'integrale, non ho neanche impostato alcun sistema lineare, ma semplicemente ottenuta "a vista" la scomposizione in fratti semplici (che nel caso in esame peraltro è davvero semplice). Poi però, vista anche la successiva richiesta dell'OP, mi è sembrato didatticamente più giusto far vedere come si potevano ricavare i coefficienti della scomposizione in fratti semplici utilizzando il principio d'identità dei polinomi, e l'ho fatto col metodo che ho ritenuto più semplice.