Integrale Indefinito
Ciao raga , ho quest'integrale:
$ int (1+t^3)/(t(1+t^2))dt $
Come fa a passare a :
$ int (1+((1-t^2)/(t(1+t^2))))dt $ ?
Grazie in anticipo
$ int (1+t^3)/(t(1+t^2))dt $
Come fa a passare a :
$ int (1+((1-t^2)/(t(1+t^2))))dt $ ?
Grazie in anticipo

Risposte
È sbagliato, c'è un quadrato di troppo nel numeratore del secondo integrale che hai scritto.
Per ogni $t\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ è:
$$\frac{1+t^3}{t(1+t^2)}=\frac{1+t-t+t^3}{t(1+t^2)}=\frac{t+t^3}{t(1+t^2)}+\frac{1-t}{t(1+t^2)}$$
$$=\frac{t(1+t^2)}{t(1+t^2)}+\frac{1-t}{t(1+t^2)}=1+\frac{1-t}{t(1+t^2)}$$
Per ogni $t\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ è:
$$\frac{1+t^3}{t(1+t^2)}=\frac{1+t-t+t^3}{t(1+t^2)}=\frac{t+t^3}{t(1+t^2)}+\frac{1-t}{t(1+t^2)}$$
$$=\frac{t(1+t^2)}{t(1+t^2)}+\frac{1-t}{t(1+t^2)}=1+\frac{1-t}{t(1+t^2)}$$
Grazie mille!!!
@Biagio2580: C'è sicuramente spiegato sul tuo testo, ma anche i quei fogli che ti ho segnalato.
Ci hai dato uno sguardo?
Ci hai dato uno sguardo?
Si gugo82, è che a volte non capisco che vadano usati questi metodi
"Biagio2580":
Si gugo82, è che a volte non capisco che vadano usati questi metodi
Perché non hai capito quando si usano.
Leggi con attenzione... Anzi, alla fine di quegli appunti c'è pure una sorta di schema: l'hai guardato?
Ciao Biagio2580,
Al di là di tutto, non mi pare molto produttivo il passaggio a quella forma al fine di risolvere l'integrale indefinito proposto...
Piuttosto noterei che si ha:
$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))\text{d}t = \int (1 + 1/t - (1 + t)/(1 + t^2))\text{d}t = \int \text{d}t + \int 1/t \text{d}t - \int 1/(1 + t^2)\text{d}t - 1/2 \int (2t)/(1 + t^2)\text{d}t = $
$ = t + ln|t| - arctan t - 1/2 ln(1 + t^2) + c $
"Biagio2580":
Ciao raga , ho quest'integrale:
$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))dt $
Come fa a passare a :[...]
Al di là di tutto, non mi pare molto produttivo il passaggio a quella forma al fine di risolvere l'integrale indefinito proposto...

Piuttosto noterei che si ha:
$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))\text{d}t = \int (1 + 1/t - (1 + t)/(1 + t^2))\text{d}t = \int \text{d}t + \int 1/t \text{d}t - \int 1/(1 + t^2)\text{d}t - 1/2 \int (2t)/(1 + t^2)\text{d}t = $
$ = t + ln|t| - arctan t - 1/2 ln(1 + t^2) + c $
A che pagina è gugo82?
"pilloeffe":
Piuttosto noterei che si ha:
$\int (1+t^3)/(t(1+t^2))\text{d}t = \int (1 + 1/t - (1 + t)/(1 + t^2))\text{d}t = \int \text{d}t + \int 1/t \text{d}t - \int 1/(1 + t^2)\text{d}t - 1/2 \int (2t)/(1 + t^2)\text{d}t = $
$ = t + ln|t| - arctan t - 1/2 ln(1 + t^2) + c $
Come lo trasformi però?Anche perchè effettivamente diventa più semplice da calcolare.
"Biagio2580":
Come lo trasformi però?
Così:
$(1+t^3)/(t(1+t^2)) = (t^3 + t - t + 1)/(t(1+t^2)) = 1 - (t - 1)/(t(1 + t^2)) = 1 - (1 - 1/t)/(1 + t^2) = 1 - 1/(1 + t^2) + 1/(t(1 + t^2)) = $
$ = 1 - 1/(1 + t^2) + A/t + (Bt + C)/(1 + t^2) = 1 - 1/(1 + t^2) + (A(1 + t^2) + Bt^2 + Ct)/(t(1 + t^2)) = $
$ = 1 - 1/(1 + t^2) + ((A + B)t^2 + Ct + A)/(t(1 + t^2)) $
Per il principio d'identità dei polinomi si ottiene il sistema seguente:
${(A + B = 0),(C = 0),(A = 1):} $
da cui $A = 1$, $B = - 1$ e $C = 0 $ e quindi si ha:
$(1+t^3)/(t(1+t^2)) = 1 - 1/(1 + t^2) + 1/t - t/(1 + t^2) = 1 - 1/(1 + t^2) + 1/t - 1/2 (2t)/(1 + t^2) $
Vabbé, ma perché proporre un metodo "esotico" (
)?
Quello standard funziona benissimo ed è sensatamente semplice in questo caso.
1. Visto che il grado del numeratore è $>=$ a quello del denominatore, bisogna scomporre il numeratore eseguendo la divisione col denominatore; tuttavia, dato che il denominatore è $t(1+t^2) = t + t^3$, basta sommare e sottrarre per ottenere:
$1+t^3 = t+t^3 + 1-t = 1*(t+t^3) + (1-t)$
cosicché:
(*) $(1+t^3)/(t(1+t^2)) = 1 + (1-t)/(t(1+t^2))$.
2. Rimane da scomporre in fratti la frazione $(1 - t)/(t(1+t^2))$, che ha (finalmente!) grado del numeratore $<$ di quello del denominatore.
Il denominatore è già scomposto nel prodotto di due fattori, uno di grado $1$ ed uno di grado $2$ con $Delta < 0$; i fratti semplici che corrispondono a tali fattori sono $A/t$ e $(Bt + C)/(1+t^2)$ ed i coefficienti sono da determinare in modo che risulti:
$(1-t)/(t(1+t^2)) = A/t + (Bt + C)/(1+t^2) <=> (1-t)/(t(1+t^2)) = ((A+B)t^2 + Ct + A)/(1+t^2) <=> \{(A+B=0), (C=-1), (A=1):} <=> \{(B=-1), (C=-1), (A=1):}$
quindi:
(**) $(1-t)/(t(1+t^2)) = 1/t - (t + 1)/(1+t^2)$.
3. Sostituendo (**) in (*) e poi (*) sotto il segno d'integrale si trova:
$int (1+t^3)/(t(1+t^2))\ "d" t = int [1 + 1/t - (t+1)/(1+t^2)]\ "d" t = t + log |t| - int t/(1+t^2)\ "d" t - int 1/(1+t^2)\ "d" t = t + log |t| - 1/2 log(1+t^2) - arctan t + c$.

Quello standard funziona benissimo ed è sensatamente semplice in questo caso.
1. Visto che il grado del numeratore è $>=$ a quello del denominatore, bisogna scomporre il numeratore eseguendo la divisione col denominatore; tuttavia, dato che il denominatore è $t(1+t^2) = t + t^3$, basta sommare e sottrarre per ottenere:
$1+t^3 = t+t^3 + 1-t = 1*(t+t^3) + (1-t)$
cosicché:
(*) $(1+t^3)/(t(1+t^2)) = 1 + (1-t)/(t(1+t^2))$.
2. Rimane da scomporre in fratti la frazione $(1 - t)/(t(1+t^2))$, che ha (finalmente!) grado del numeratore $<$ di quello del denominatore.
Il denominatore è già scomposto nel prodotto di due fattori, uno di grado $1$ ed uno di grado $2$ con $Delta < 0$; i fratti semplici che corrispondono a tali fattori sono $A/t$ e $(Bt + C)/(1+t^2)$ ed i coefficienti sono da determinare in modo che risulti:
$(1-t)/(t(1+t^2)) = A/t + (Bt + C)/(1+t^2) <=> (1-t)/(t(1+t^2)) = ((A+B)t^2 + Ct + A)/(1+t^2) <=> \{(A+B=0), (C=-1), (A=1):} <=> \{(B=-1), (C=-1), (A=1):}$
quindi:
(**) $(1-t)/(t(1+t^2)) = 1/t - (t + 1)/(1+t^2)$.
3. Sostituendo (**) in (*) e poi (*) sotto il segno d'integrale si trova:
$int (1+t^3)/(t(1+t^2))\ "d" t = int [1 + 1/t - (t+1)/(1+t^2)]\ "d" t = t + log |t| - int t/(1+t^2)\ "d" t - int 1/(1+t^2)\ "d" t = t + log |t| - 1/2 log(1+t^2) - arctan t + c$.
"gugo82":
Vabbé, ma perché proporre un metodo "esotico" ()?
Beh, perché il metodo "esotico" (come l'hai chiamato tu, il che non mi dispiace intendiamoci, anche se magari non standard sarebbe più indicato...
