Integrale indefinito

[glitch000]

buon giorno a tutti
avrei dei dubbi riguardanti la risoluzione di un integrale indefinito:

$ int_( )^( ) xe^(2x^2)log(1+e^(x^2)) dx $

Io ho utilizzato il metodo di sostituzione definendo:

$e^(x^2)+1 = y$
$e^(x^2)*2x dx= dy$
A questo punto però non saprei come riscrivere l'integrale...

[Wilde1]

Se così non riesci, prova altre vie.
Prova un'altra sostituzione, per esempio $y=e^{x^2}$ e/o prova usare l'integrazione per parti.
Non bisogna mai fermarsi al primo ostacolo.

[pilloeffe]

"glitch000":A questo punto però non saprei come riscrivere l'integrale...

Perché?
Semplicemente si ha:

$\int xe^(2x^2)log(1+e^(x^2)) \text{d}x = 1/2 \int e^(x^2)log(1+e^(x^2)) 2x e^{x^2} \text{d}x = 1/2 \int (y - 1) logy \text{d}y $

[regim]

L`integrale con la sostituzione che hai proposto risulta $1/2 \int \ln(y)dy= 1/2 y\cdot[\ln(y)-1]$.

[cooper1]

non direi, ti sei perso un fattore $e^{x^2}$. riguarda i passaggi di @pilloeffe e capirai cosa non va.

[regim]

Giusto, non avevo avevo visto il 2 accanto x quadro.

[pilloeffe]

In realtà con la sostituzione proposta dopo qualche integrazione per parti si ottiene:

$ 1/2 \int (y - 1) logy \text{d}y = 1/8 y [4 - y + 2 (y - 2) log(y)] + c $

Ricordando che $ y = e^(x^2) + 1 $ in definitiva si ha:

$ \int xe^(2x^2)log(1+e^(x^2)) \text{d}x = 1/8 (e^(x^2) + 1) [4 - e^(x^2) - 1 + 2(e^(x^2) - 1)log(e^(x^2) + 1)] + c = $
$ = 1/8 (e^(x^2) + 1) [3 - e^(x^2) + 2(e^(x^2) - 1)log(e^(x^2) + 1)] + c = $
$ = 1/8 [2(e^(2x^2) - 1)log(e^(x^2) + 1) - e^(x^2) (e^(x^2) - 2)] + c $