Integrale indefinito

[Gh3rra]

Ragazzi non so proprio come risolvere quest'integrale, sto impazzendo:

$\int \frac{1}{\sin(x)-\cos(x)+1}dx$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Hai provato con la sostituzione
$t=tan(x/2)$?

In questo modo si ha

$cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)$,

$sin(x)=(2t)/(1+t^2)$

[gugo82]

Quella indicata da Martino è una tecnica standard che conduce sempre al risultato... Pare strano che non sia nota.

[pilloeffe]

Ciao Gh3rra,

Oltre al metodo standard che ti ha già suggerito Martino, ce n'è un altro meno standard, che richiede qualche identità trigonometrica in più, ma forse poi è più semplice:

$ \int \frac{1}{\sin(x)-\cos(x)+1} \text{d}x = \int \frac{1}{2 sin(x/2) cos(x/2) + 2 sin^2(x/2)} \text{d}x = 1/2 \int \frac{1}{sin(x/2) [cos(x/2) + sin(x/2)]} \text{d}x = $

$ = 1/2 \int \frac{sin^2(x/2) + cos^2(x/2)}{sin(x/2) [cos(x/2) + sin(x/2)]} \text{d}x = 1/2 \int [\frac{cos(x/2)}{sin(x/2)} - \frac{cos(x/2) - sin(x/2)}{cos(x/2) + sin(x/2)}]\text{d}x = $

$ = \int [\frac{1/2 cos(x/2)}{sin(x/2)} - \frac{1/2 cos(x/2) - 1/2 sin(x/2)}{cos(x/2) + sin(x/2)}]\text{d}x = \int \frac{1/2 cos(x/2)}{sin(x/2)} \text{d}x - \int \frac{1/2 cos(x/2) - 1/2 sin(x/2)}{cos(x/2) + sin(x/2)}\text{d}x = $

$ = ln|sin(x/2)| - ln|sin(x/2) + cos(x/2)| + c $