Integrale indefinito
$ int cosx/(4sinx-3cosx) dx $
Il mio ragiornamento prevede l'utilizzo delle formule di bisezione
$sinx=2t/(1+t^2)$ e $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
E la sostituzione di $t=tan(x/2)$ e $dx=2/(1+t^2)dt$
Cosìfacendo ho trovato un integrale della forma :
$2 int (1-t^2)/((1+t^2)(3t^2+8t-3)) dt $ che ho risolto per decomposizione e principio d'identità dei polinomi.
Cosìfacendo però ottengo come soluzione:
$1/25[4(-ln(1+tan^2(x/2))+ln(tan(x/2)+3)+ln(3tan(x/2)-1))+6arctan(1+tan^2(x/2))]+c$
Che non è la soluzione mostrata da wolfram.
Mi chiedo: il ragionamento è corretto?
Il mio ragiornamento prevede l'utilizzo delle formule di bisezione
$sinx=2t/(1+t^2)$ e $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
E la sostituzione di $t=tan(x/2)$ e $dx=2/(1+t^2)dt$
Cosìfacendo ho trovato un integrale della forma :
$2 int (1-t^2)/((1+t^2)(3t^2+8t-3)) dt $ che ho risolto per decomposizione e principio d'identità dei polinomi.
Cosìfacendo però ottengo come soluzione:
$1/25[4(-ln(1+tan^2(x/2))+ln(tan(x/2)+3)+ln(3tan(x/2)-1))+6arctan(1+tan^2(x/2))]+c$
Che non è la soluzione mostrata da wolfram.
Mi chiedo: il ragionamento è corretto?
Risposte
Ciao pepp1995,
No... Però c'è un modo più semplice:
$ int cosx/(4sinx-3cosx) dx = int dx/(4 tan x - 3) $
Posto $t := tan x \implies dt = (tan^2 x + 1) dx \implies dx = frac{dt}{t^2 + 1} $, si ha:
$ int cosx/(4sinx-3cosx) dx = int dx/(4 tan x - 3) = int frac{dt}{(4 t - 3)(t^2 + 1)} = $
$ = frac{1}{25}(16 int frac{dt}{4 t - 3} - int frac{4t + 3}{t^2 + 1}dt) = frac{1}{25}(4 int frac{4dt}{4 t - 3} - 2 int frac{2t}{t^2 + 1}dt - 3 int frac{dt}{t^2 + 1}) = $
$ = frac{1}{25}[4 ln|4 t - 3| - 2 ln(t^2 + 1) - 3 arctan t] + c = $
$ = frac{1}{25}[4 ln|4 tan x - 3| - 2 ln(tan^2 x + 1) - 3x] + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|frac{4 sin x - 3 cos x}{cos x}| - 4 ln\sqrt{tan^2 x + 1} - 3x) + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|frac{4 sin x - 3 cos x}{cos x}| - 4 ln\sqrt{frac{1}{cos^2 x}} - 3x) + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|frac{4 sin x - 3 cos x}{cos x}| + 4 ln|cos x| - 3x) + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|4 sin x - 3 cos x| - 3x) + c $
"pepp1995":
Mi chiedo: il ragionamento è corretto?
No... Però c'è un modo più semplice:
$ int cosx/(4sinx-3cosx) dx = int dx/(4 tan x - 3) $
Posto $t := tan x \implies dt = (tan^2 x + 1) dx \implies dx = frac{dt}{t^2 + 1} $, si ha:
$ int cosx/(4sinx-3cosx) dx = int dx/(4 tan x - 3) = int frac{dt}{(4 t - 3)(t^2 + 1)} = $
$ = frac{1}{25}(16 int frac{dt}{4 t - 3} - int frac{4t + 3}{t^2 + 1}dt) = frac{1}{25}(4 int frac{4dt}{4 t - 3} - 2 int frac{2t}{t^2 + 1}dt - 3 int frac{dt}{t^2 + 1}) = $
$ = frac{1}{25}[4 ln|4 t - 3| - 2 ln(t^2 + 1) - 3 arctan t] + c = $
$ = frac{1}{25}[4 ln|4 tan x - 3| - 2 ln(tan^2 x + 1) - 3x] + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|frac{4 sin x - 3 cos x}{cos x}| - 4 ln\sqrt{tan^2 x + 1} - 3x) + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|frac{4 sin x - 3 cos x}{cos x}| - 4 ln\sqrt{frac{1}{cos^2 x}} - 3x) + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|frac{4 sin x - 3 cos x}{cos x}| + 4 ln|cos x| - 3x) + c = $
$ = frac{1}{25}(4 ln|4 sin x - 3 cos x| - 3x) + c $
Premessa: grazie per la risposta =)
Potresti spiegarmi perché l'uso delle formule di bisezione 'non è una scelta felice'?
Lo chiedo perché tra gli appunti ci è stato indicato che "ogni qualvolta al denominatore abbiamo una combinazione lineare di seni e coseni conviene usare le suddette formule" .
La linea guida fornitami sull'uso della tangente prevede il caso in cui abbiamo "un'equazione nella sola tangente"o comunque "al numeratore una tangente"(quindi dopo la riscrittura dell'integrando avrei seguito lo stesso ragionamento).
Ripeto : ho necessità di capire cos'è che nella risoluzione da me descritta non ha funzionato semplicemente perché ad una prova d'esame (non potendo confrontare la soluzione) non sarei in grado di rendermi conto se è tutto ok o meno.
**Aggiungo che nel fare:
$ int 1/((4t-3)(1+t^2)) dt $, dopo averlo decomposto in $A/(4t-3)+(Bt+1)/(1+t^2)$ quando applico il principio d'identità ottengo un sistema incompatibile $ { ( A+4B=0 ),( -3B+4=0 ),( A-3=1 ):} $
Potresti spiegarmi perché l'uso delle formule di bisezione 'non è una scelta felice'?
Lo chiedo perché tra gli appunti ci è stato indicato che "ogni qualvolta al denominatore abbiamo una combinazione lineare di seni e coseni conviene usare le suddette formule" .
La linea guida fornitami sull'uso della tangente prevede il caso in cui abbiamo "un'equazione nella sola tangente"o comunque "al numeratore una tangente"(quindi dopo la riscrittura dell'integrando avrei seguito lo stesso ragionamento).
Ripeto : ho necessità di capire cos'è che nella risoluzione da me descritta non ha funzionato semplicemente perché ad una prova d'esame (non potendo confrontare la soluzione) non sarei in grado di rendermi conto se è tutto ok o meno.
**Aggiungo che nel fare:
$ int 1/((4t-3)(1+t^2)) dt $, dopo averlo decomposto in $A/(4t-3)+(Bt+1)/(1+t^2)$ quando applico il principio d'identità ottengo un sistema incompatibile $ { ( A+4B=0 ),( -3B+4=0 ),( A-3=1 ):} $
"pepp1995":
Premessa: grazie per la risposta =)
Prego!
"pepp1995":
Potresti spiegarmi perché l'uso delle formule di bisezione 'non è una scelta felice'?
Innanzitutto, per la precisione, quelle non si chiamano formule di bisezione, ma formule parametriche... Non è una scelta felice per il semplice fatto che tipicamente si fa uso delle formule parametriche quando proprio non si riesce a trasformare l'integrando in una funzione che contenga un solo tipo di funzione trigonometrica (una sola a scelta fra $sin x$, $ cos x $, $tan x$, $cot x$, $sec x $, $ csc x $), ma non è questo il caso dell'integrale proposto. Nota, per inciso, che si sarebbe anche potuto dividere tutto per $ sin x $, ottenendo così
$ int cosx/(4sinx-3cosx) dx = int cot x/(4 - 3 cot x) dx $
che è una funzione integranda che contiene solo $cot x $, per cui magari si potrebbe risolvere altrettanto bene ponendo $c := cot x \implies dc = -(1 + c^2)dx $...
"pepp1995":
Lo chiedo perché tra gli appunti ci è stato indicato che "ogni qualvolta al denominatore abbiamo una combinazione lineare di seni e coseni conviene usare le suddette formule" .
Mah, non sarei così rigido...
E comunque completerei la frase con "a meno che non si riesca, con opportune elaborazioni, a trasformare la funzione integranda in una funzione che contenga un solo tipo di funzione trigonometrica a scelta fra $sin x$, $ cos x $, $tan x$, $cot x$, $sec x $, $ csc x $."pepp1995":
**Aggiungo che nel fare:...
Attenzione che
$ 1/((4t-3)(1+t^2)) = frac{A}{4t - 3} + frac{Bt + C}{t^2 + 1} $
Dopo qualche passaggio si trova $A = frac{16}{25} $, $ B = - frac{4}{25}$ e $ C = - frac{3}{25} $.
Risposta chiara e concisa 
Rigrazie infinite
Rigrazie infinite
@pepp: In ogni caso "non è la soluzione di wolfram" non significa NULLA: c'è la costante di integrazione, la soluzione corretta può presentarsi sotto molte vesti diverse.
Invece di chiedere a wolfram di risolvere l'integrale, chiedigli di DERIVARE la funzione che hai trovato. Se trovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato. Questo controllo è molto migliore ed è nel giusto spirito dell'uso dei software di calcolo, che devono aiutarci, non sostituirci.
Invece di chiedere a wolfram di risolvere l'integrale, chiedigli di DERIVARE la funzione che hai trovato. Se trovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato. Questo controllo è molto migliore ed è nel giusto spirito dell'uso dei software di calcolo, che devono aiutarci, non sostituirci.
Ciao dissonance,
Sono completamente d'accordo con te.
@pepp1995: ti segnalo sommessamente che quanto descritto da dissonance è proprio ciò che ho fatto per darti la risposta
Non mi sono messo a verificare tutti i tuoi calcoli, anche perché sinceramente non potevo sapere come li avevi fatti...
"dissonance":
In ogni caso "non è la soluzione di wolfram" non significa NULLA: c'è la costante di integrazione, la soluzione corretta può presentarsi sotto molte vesti diverse.
Sono completamente d'accordo con te.
"dissonance":
Invece di chiedere a wolfram di risolvere l'integrale, chiedigli di DERIVARE la funzione che hai trovato. Se trovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato.
@pepp1995: ti segnalo sommessamente che quanto descritto da dissonance è proprio ciò che ho fatto per darti la risposta
"pilloeffe":
No... Però c'è un modo più semplice
Non mi sono messo a verificare tutti i tuoi calcoli, anche perché sinceramente non potevo sapere come li avevi fatti...
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