Integrale indefinito

[Wallace89]

Salve a tutti, ho svolto questo integrale indefinito, e vorrei sapere se il mio modo di procedere è corretto.

$\int((x^2)/(x^2-4x+5))dx$

Innanzitutto ho svolto una divisione tra polinomi delllo stesso grado, che mi risulta esere


$\int((4x-5)/(x^2-4x+5))+1 dx$

dopo di che

$\int 1 dx + int((4x-4-1)/(x^2-4x+5))dx$

$\int 1 dx + int((4x-4)/(x^2-4x+5))dx- int((1)/(x^2-4x+4+1)dx$

$\int 1 dx + int((4x-4)/(x^2-4x+5))dx- int((1)/((x-2)^2+1))dx$

$\int 1 dx + 2int((4x-4)/(2(x^2-4x+5)))dx- int((1)/((x-2)^2+1))dx$

$\int 1 dx + 2int((2x-4)/(x^2-4x+5))dx- int((1)/((x-2)^2+1))dx$

Fatto questo risulta

$ x+2ln(x^2-4x+5)- arctg(x-2)+c$

è corretto?? grazie in anticipo

[Magma1]

Ciao,

Allora partendo da questo punto

$ int(4x-5)/(x^2-4x+5) dx+int 1 dx $

$ int(4x)/(x^2-4x+5) dx- int 5/(x^2-4x+5) dx+int 1 dx $

osservando che

$x^2-4+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$

e applicando un cambiamento di variabile

$u=x-2 hArr x=u+2$

inoltre

$du=dx$

Otteniamo

$[ 4 int(u+2)/(u^2+1) du - int 5/(u^2+1) du]+int 1 dx $

$[4(int(u)/(u^2+1) du+int(2)/(u^2+1) du)-int 5/(u^2+1) du]+int 1 dx $

$[4(1/2 int(2u)/(u^2+1) du+2 int(1)/(u^2+1) du)-5 int 1/(u^2+1) du]+int 1 dx $

$[4(1/2 ln(u^2+1)+2 arctan (u)) -5 arctan(u) ]+x+c, AA c in RR$

$[2 ln(u^2+1)+8 arctan (u) -5 arctan(u)] +x+c, AA c in RR$

$[2 ln(u^2+1)+3 arctan (u) ]+x+c, AA c in RR$

Perrtanto si ha

$2 ln(x^2-4x+5)+3 arctan (x-2) +x +c, AA c in RR$

[pilloeffe]

Ciao Wallace89,

E' corretta la soluzione di Magma, ma puoi correggere la tua in modo che le cose tornino: infatti è errato il passaggio prima di

"Wallace89":Fatto questo risulta

risulta $2x - 2$, non $2x - 4$. Per far tornare i conti, basta fare come segue:

$\int frac{4x-5}{x^2-4x+5} dx = \int frac{4x - 8 + 3}{x^2-4x+5} dx = \int frac{4x - 8}{x^2-4x+5} dx + 3 \int frac{1}{x^2-4x+5} dx$

e poi procedere esattamente come avevi già pensato di fare...

[Wallace89]

Grazie Mille!!