Integrale indefinito

[Salivo44]

Ho qui questo integrale

$int 1 / ((1+x)(sqrt(1-x)))$

Sto provando a risolverlo senza risultato
Non voglio la risoluzione, voglio solo sapere se si risolve come integrazione di funzioni razionali fratte oppure con altri metodi

[cooper1]

prova per sostituzione. usa $t= sqrt(1-x)$

[Salivo44]

Ho svolto per sostituzione ma mi sono fermato ad un punto :

$int 1/((1+x)*t) -2t dt = int (-2t)/((2-t^(2))*t) dt = int -2/(2-t^(2)) dt = int (-2)/((sqrt(2) - t) (sqrt(2) +t) $
$= int A/(sqrt(2) -t) + B/(sqrt(2) +t) dt$

Ora che faccio per favore è urgente

[cooper1]

Adesso risolvi con i fratti semplici. Cioè trovi i coefficienti A e B e risolvi i due integrali elementari ( verosimilmente a meno del segno sono dei logaritmi).
Purtroppo adesso sono via e sto usando il cellulare e quindi non posso essere più preciso di così, quando torno ti posto i passaggi.. Se eventualmente tu invece vuoi mettere i tuoi posso controllarli!

[Salivo44]

La soluzione data dal calcolatore deve essere : $-sqrt(2) tanh^(-1)( (sqrt(1-x)) / ( sqrt(2)))$

Comunque i miei passaggi sono : $( Asqrt(2) + At + Bsqrt(2) - Bt ) / ( (sqrt(2) - t)(sqrt(2) + t) ) =

( (A - B)t + (A+B)sqrt(2) ) / ( (sqrt(2) - t)(sqrt(2) + t) )$ precisamente mi sono fermato qui.. non so come ricavare A e B. Purtroppo devo per forza di cose aspettare aiuti

[cooper1]

A questo punto devi eguagliare quell'espressione (corretta) all'integrale che hai (quello con il -2 a numeratore per intenderci). È un'uguaglianza tra polinomi per cui i coefficienti delle due espressioni devono essere uguali.
Quindi hai che i coefficienti della t devono annullarsi mentre i termini noti devono essere uguali a -2!

[@melia]

C'è il Principio di identità dei polinomi, dice che "Due polinomi ridotti in forma normale sono uguali se i coefficienti delle variabili sono uguali, in questo modo i polinomi assumono lo stesso valore per ogni $t in RR$", quindi
$-2= (A - B)t + (A+B)sqrt(2) $ significa che
$A-B=0$, a primo membro il termine in $t$ non c'è, quindi il suo coefficiente è 0
$(A+B)sqrt(2)= -2$ che è il termine noto del primo e del secondo membro

[Salivo44]

Ok, quindi se $ (A + B )sqrt(2) = -2 => A e B = -sqrt(2) / 2$ giusto?

Quindi ho : $int -sqrt(2) / ( 2*(sqrt(2) -t) ) + int -sqrt(2) / ( 2*(sqrt(2) +t) )$

Ora potrei portare $-sqrt(2) / 2$ al di fuori ma non so come finire il tutto, cioè devo risostituire la t?

[cooper1]

i due integrali sono adesso elementari.
$ int -1/(sqrt2 -t) dt = log(sqrt2 -t) +c $
$ int 1/(sqrt2 +t) dt = log(sqrt2 +t) +c $

[Salivo44]

Ah.. quindi tutto qui, grazie mille! Ma sbaglio o hai dimenticato di moltiplicare per $sqrt(2)/2?$

[cooper1]

non ho risolto l'integrale vero e proprio ma ti ho solo fatto vedere come risolvere gli integrali elementari. anche perchè

"Salivo44":Ora potrei portare −2–√2 al di fuori ma non so come finire il tutto, cioè devo risostituire la t?

già lo sapevi che dovevi farlo anche se nel primo il meno ti serve nell'integrale.

[Salivo44]

"cooper":non ho risolto l'integrale vero e proprio ma ti ho solo fatto vedere come risolvere gli integrali elementari. anche perchè
[quote="Salivo44"]Ora potrei portare −2–√2 al di fuori ma non so come finire il tutto, cioè devo risostituire la t?

già lo sapevi che dovevi farlo anche se nel primo il meno ti serve nell'integrale.[/quote]

Non ho capito, quindi non è finito? La soluzione finale quale sarebbe?

[cooper1]

$ sqrt2 / 2 int -1/(sqrt2-t)dt-sqrt2/2 int 1/(sqrt2 +t)dt $
così è più chiaro?

[Salivo44]

"cooper":$ sqrt2 / 2 int -1/(sqrt2-t)dt-sqrt2/2 int 1/(sqrt2 +t)dt $
così è più chiaro?

Sì era quello che intendevo, quindi si hanno quei 2 logaritmi che mi hai scritto e basta? Cioè dovrei sostituire la t con $sqrt(1-x)$ ed è finito?

[cooper1]

esatto

[Salivo44]

"cooper":esatto

Finalmente