Integrale Indefinito

[ste1leo2]

Ragazzi ho problemi con questo integrale.

$ int (arctgsqrtx)/x^2 dx $

Nello svolgimento ho iniziato con una sostituzione, cioè $ sqrtx = t $

Poi ho svolto per parti ponendo
$ f'(t) = 1/t^3 $
$ g(t) = arctg(t) $

Svolgendo mi sono ritrovato in questa situazione:
$ -1/t^2 arctg(t)+int1/t^2 * 1/(1+t^2) dt $

E non so come andare avanti. Chiedo il vostro aiuto

[Lo_zio_Tom]

è giusto.

scomponi per fratti semplici (mooolto semplici)


$1/(t^2(t^2+1))=1/t^2-1/(t^2+1)$

[ste1leo2]

Non ho capito il metodo che hai utilizzato. Scusami l'ignoranza

[Lo_zio_Tom]

l'ho fatto a mente (in casi così semplici è il metodo migliore)....


Se però ti risulta complicato puoi utilizzare le normali tecniche di scomposizione in fratti semplici:


$1/(t^2(t^2+1))=A/t+B/t^2+(Ct+D)/(t^2+1)$

risolvendo il sistema in $A,B,C,D$ ottenendo lo stesso risultato dopo noiosi ed inutili calcoli

[ste1leo2]

Ok Ho capito, mi rimane solo una domanda: Perchè al 3° termine si usa $ Ct+D $ ?

[Lo_zio_Tom]

è la scomposizione in fratti semplici...



tu come faresti?

[ste1leo2]

Si, hai ragione, mi sono confuso. Grazie

[gugo82]

Oppure vai di Hermite:
\[
\frac{1}{t^2(t^2+ 1)} = \frac{A}{t} + \frac{Bt+C}{t^2+1} + \frac{\text{d}}{\text{d} t}\left[ \frac{a}{t}\right]\; .
\]

[spugna2]

Oppure ancora con Bezout: in questo caso

$(t^2+1)-t^2=1 \Rightarrow 1/{t^2}-1/{t^2+1}=1/{t^2(t^2+1)}$