Integrale indefinito
Buonasera a tutti ho un dubbio con questo integrale
$ int_(0)^(pi/2) (sen x+1)/(cosx+3) dx $
Io ho prima scomposto l'integrale in somma di due integrali come segue:
$ int_(0)^(pi/2) (sen x)/(cosx+3) dx + int_(0)^(pi/2) (1)/(cosx+3) dx $
Il primo mi da come risultato ln|cosx+3|
Per il secondo ho sostituito cosx= $ (1+t^2) / (1-t^2) $
Ho effettuato il minimo comune multiplo e scomposto in fratti semplici:
$ (A) / (t-root(2)(2)) + (B) / (t+root(2)(2)) + (Ct+D) / (t^2+1) $
Vorrei chiedervi se il filo logico è giusto in quanto non ho il risultato annesso.
Grazie in anticipo
$ int_(0)^(pi/2) (sen x+1)/(cosx+3) dx $
Io ho prima scomposto l'integrale in somma di due integrali come segue:
$ int_(0)^(pi/2) (sen x)/(cosx+3) dx + int_(0)^(pi/2) (1)/(cosx+3) dx $
Il primo mi da come risultato ln|cosx+3|
Per il secondo ho sostituito cosx= $ (1+t^2) / (1-t^2) $
Ho effettuato il minimo comune multiplo e scomposto in fratti semplici:
$ (A) / (t-root(2)(2)) + (B) / (t+root(2)(2)) + (Ct+D) / (t^2+1) $
Vorrei chiedervi se il filo logico è giusto in quanto non ho il risultato annesso.
Grazie in anticipo
Risposte
Ci sono un po' di errori.
La derivata di $\cos (x)$ è $- \sin (x)$. Quindi
\[ \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) + 3} dx = - \ln \left | \cos (x) + 3 \right | + c \]
Per quanto riguarda il secondo integrale, devi rivederti le sostituzioni di [tex]t = \tan \left (\frac{x}{2} \right )[/tex]:
\[ \cos (x) = \cos \left (\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right ) = 2 \cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right ) - 1 = \frac{2}{1 + \tan^2 \left ( \frac{x}{2} \right )} - 1 = \frac{1 - \tan^2 \left (\frac{x}{2} \right )}{1 + \tan^2 \left (\frac{x}{2} \right )} \]
Facendo la sostituzione:
\[ \cos (x) = \frac{ 1 - t^2}{1 + t^2} \]
quindi la sostituzione che hai fatto era sbagliata; anzi, più che altro non ti porterebbe a niente. Sei libero di fare qualsiasi sostituzione tu voglia, purchè abbia senso. In questo caso credo che usare le sostituzioni parametriche sia la via migliore; e credo che tu intendessi usare queste, ma che abbia ricordato male la formula. Inoltre,
\[ t = \tan \left ( \frac{x}{2} \right ) \implies dx = \frac{2}{1 + t^2} dt \]
Sostituendo in questo modo, ottieni un integrale risolvibile in un passaggio. Ti accorgerai che il risultato finale non è così esteticamente apprezzabile, ma, controllando con Wolfram Alpha, è giusto, quindi non c'è niente da fare.
La derivata di $\cos (x)$ è $- \sin (x)$. Quindi
\[ \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) + 3} dx = - \ln \left | \cos (x) + 3 \right | + c \]
Per quanto riguarda il secondo integrale, devi rivederti le sostituzioni di [tex]t = \tan \left (\frac{x}{2} \right )[/tex]:
\[ \cos (x) = \cos \left (\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right ) = 2 \cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right ) - 1 = \frac{2}{1 + \tan^2 \left ( \frac{x}{2} \right )} - 1 = \frac{1 - \tan^2 \left (\frac{x}{2} \right )}{1 + \tan^2 \left (\frac{x}{2} \right )} \]
Facendo la sostituzione:
\[ \cos (x) = \frac{ 1 - t^2}{1 + t^2} \]
quindi la sostituzione che hai fatto era sbagliata; anzi, più che altro non ti porterebbe a niente. Sei libero di fare qualsiasi sostituzione tu voglia, purchè abbia senso. In questo caso credo che usare le sostituzioni parametriche sia la via migliore; e credo che tu intendessi usare queste, ma che abbia ricordato male la formula. Inoltre,
\[ t = \tan \left ( \frac{x}{2} \right ) \implies dx = \frac{2}{1 + t^2} dt \]
Sostituendo in questo modo, ottieni un integrale risolvibile in un passaggio. Ti accorgerai che il risultato finale non è così esteticamente apprezzabile, ma, controllando con Wolfram Alpha, è giusto, quindi non c'è niente da fare.
Grazie mille!!!
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