Integrale indefinito

[ludole]

Salve ragazzi, volevo chiedervi aiuto con un integrale indefinito.

$ int x/(sqrt(1-x^2)(cos sqrt ( 1- x ^2)- 1)) dx $

Ora ho osservato che è persistente la $ f(x) = sqrt (1-x^2) $ e quindi ne ho studiato la derivata: $ f'(x) = 1/2 (1-x^2) ^(1/2 - 1) (-2x) = -x/sqrt(1-x^2) $

Quindi andando a sostituire all'interno dell'integrale abbiamo
$ int -f'(x) 1/(cos f(x)- 1) d x =- int 1/(cos sqrt ( 1- x ^2)- 1) d sqrt (1-x^2) $

Poi ho moltiplicato e diviso per $ cos sqrt ( 1- x ^2) + 1 $ ottenendo $ int (cos sqrt ( 1- x ^2) +1)/( sen^2sqrt( 1- x ^2)) $

Arrivata qui non so più come procedere! Non riconosco alcuna derivata particolare. Potreste gentilmente aiutarmi?

[billyballo2123]

Dopo il cambio di variabile che hai detto tu, ovvero $t=\sqrt{1-x^2}$, rimane da risolvere
\[
\int \frac{\cos t+1}{\sin^2 t} dt.
\]

Spezziamo l'integrale in due:
\[
\int \frac{\cos t+1}{\sin^2 t} dt = \int \frac{\cos t}{\sin^2 t} dt+\int \frac{1}{\sin^2 t} dt;
\]
Si ha che
\[
\int \frac{\cos t}{\sin^2 t} dt=-\frac{1}{\sin t}+c_1,
\]
ed essendo $\sin t=\cos(t-\pi/2)$, otteniamo
\[
\int \frac{1}{\sin^2 t} dt = \int \frac{1}{\cos^2 (t-\pi/2)} dt=\tan(t-\pi/2)+c_2.
\]
Dunque risostituendo $t=\sqrt{1-x^2}$, otteniamo che la soluzione finale è
\[
-\frac{1}{\sin \sqrt{1-x^2}}+\tan(\sqrt{1-x^2}-\pi/2)+c
\]

[ludole]

Grazie mille!