Integrale indefinito...
Salve ragazzi... ho provato a fare questo integrale in tutti i modi! Se volessi scrivere tutto quello che ho provato ci vorrebbe una giornata (quanto ho perso io per poterlo fare). L'integrale in questione è:
$ int(cos^2logx)/(x^2) dx $
penso che la questione sia di risolverlo con una giusta sostituzione... quella che ho provato io è $logx=t$, ma mi incasino soltanto! Mi aiutate?
In più questo integrale è corretto? Lo vedo troppo semplice da fare XD
$ int(cos^3xsinx)/sqrt(1-cos^8x) dx $
ho optato per ricondurmi ad un integrale del tipo:
$ int(f'(x))/sqrt(1-f^2(x)) dx= arcsenf(x)+c $
da cui, con semplici trasformazioni dell'integrando, ho trovato che
$ F(x)= -1/4arcsin(cos^4x)+c $
è corretto?
$ int(cos^2logx)/(x^2) dx $
penso che la questione sia di risolverlo con una giusta sostituzione... quella che ho provato io è $logx=t$, ma mi incasino soltanto! Mi aiutate?
In più questo integrale è corretto? Lo vedo troppo semplice da fare XD
$ int(cos^3xsinx)/sqrt(1-cos^8x) dx $
ho optato per ricondurmi ad un integrale del tipo:
$ int(f'(x))/sqrt(1-f^2(x)) dx= arcsenf(x)+c $
da cui, con semplici trasformazioni dell'integrando, ho trovato che
$ F(x)= -1/4arcsin(cos^4x)+c $
è corretto?
Risposte
per il primo integrale credo sia meglio ricordare la relazione trigonometrica :
\begin{align}
\cos(2x)&=\cos^2x-\sin^2x=\cos^2x-1+\cos^2x\\
&=2\cos^2x-1;
\end{align}
allora l'integranda la puoi scrivere come:
\begin{align}
\frac{\cos^2\ln x}{x^2} &=\frac{2\cos^2\ln x-1+1}{2x^2} =\frac{2\cos^2\ln x-1 }{2x^2}+\frac{1}{2x^2} \\
&=\frac{ \cos(2\ln x) }{2x^2}+\frac{1}{2x^2};
\end{align}
a questo punto fatta la sostituzione che suggerivi al primo addendo, ottieni
\begin{align}
\int\frac{ \cos(2t) }{2e^{t}}\,\,dx+\int \frac{1}{2x^2}\,\,dx,
\end{align}
che con un integrazione per parti dovresti cavartela.
\begin{align}
\cos(2x)&=\cos^2x-\sin^2x=\cos^2x-1+\cos^2x\\
&=2\cos^2x-1;
\end{align}
allora l'integranda la puoi scrivere come:
\begin{align}
\frac{\cos^2\ln x}{x^2} &=\frac{2\cos^2\ln x-1+1}{2x^2} =\frac{2\cos^2\ln x-1 }{2x^2}+\frac{1}{2x^2} \\
&=\frac{ \cos(2\ln x) }{2x^2}+\frac{1}{2x^2};
\end{align}
a questo punto fatta la sostituzione che suggerivi al primo addendo, ottieni
\begin{align}
\int\frac{ \cos(2t) }{2e^{t}}\,\,dx+\int \frac{1}{2x^2}\,\,dx,
\end{align}
che con un integrazione per parti dovresti cavartela.
Uhm è da provare, anche se è abbastanza lunghetto XD Non capisco solo come esce quel $2$ al denominatore... mi sono perso 
Proverò a fare i conti e ti farò sapere... 
Proverò a fare i conti e ti farò sapere...
Anche se non mi trovo con i tuoi conti... io ho $cos^2x$ e non $cos2x$!
Up! 
Ragazzi qualcuno di voi riesce a darmi una mano a risolvere quest'integrale? Ho provato in tutti i modi... dalle formule parametriche, ad una sostituzione fino al metodo per parti, ma niente da fare
$ int (tgx)/sqrt(cos^2x-4cosx)dx $
Grazie ragazzi...
$ int (tgx)/sqrt(cos^2x-4cosx)dx $
Grazie ragazzi...
Up!
\[ \begin{align} \int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx&= \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx =- \int \frac{d\left(cos x\right)}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\\ &\stackrel{\cos x=t}{=}- \int \frac{d t}{t \sqrt{t^2-4t}} \end{align} \]\[ \begin{align} \int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx&= \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx =- \int \frac{d\left(cos x\right)}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\\ &\stackrel{\cos x=t}{=}- \int \frac{d t}{t \sqrt{t^2-4t}} \end{align} \]per il primo integrale in definitiva con quella sostituzione abbiamo:
\begin{align}
\int \frac{\cos 2t}{2e^t}\,\,dt&=\frac{1}{4}\int \frac{d\left(\sin 2t\right)}{ e^t}\stackrel{\bf(P)}{=}\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\int \sin 2t\,\, d\left(\frac{1}{ e^t}\right)\right]\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}+\int \frac{ \sin 2t}{ e^t}\,\, dt\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}+\int \frac{1}{ e^t}\,\, d \left(-\frac{\cos2t}{ 2}\right)\right]\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\frac{1}{2}\int \frac{1}{ e^t}\,\, d \left( \cos2t \right)\right]\stackrel{\bf(P)}{=}\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\cos2t}{ e^t}-\int\cos2t \,\, d \left( \frac{1}{ e^t} \right)\right)\right]\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\cos2t}{ e^t}+\int \frac{\cos2t}{ e^t} \,\, d t\right)\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}- \frac{\cos2t}{2 e^t}-\int \frac{\cos2t}{ 2e^t} \,\, d t \right]\\
\frac{5}{4}\int \frac{\cos 2t}{2e^t}\,\,dt&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}- \frac{\cos2t}{2 e^t} \right]\\
\int \frac{\cos 2t}{2e^t}\,\,dt&= \frac{ \sin 2t }{ 5e^t}- \frac{\cos2t}{10 e^t} .
\end{align}
Per il secondo integrale basta osservare che:
\begin{align}
\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx&= \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx =- \int \frac{d\left(cos x\right)}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\\
&\stackrel{\cos x=t}{=}- \int \frac{d t}{t \sqrt{t^2-4t}}=
\end{align}
\begin{align}
\int \frac{\cos 2t}{2e^t}\,\,dt&=\frac{1}{4}\int \frac{d\left(\sin 2t\right)}{ e^t}\stackrel{\bf(P)}{=}\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\int \sin 2t\,\, d\left(\frac{1}{ e^t}\right)\right]\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}+\int \frac{ \sin 2t}{ e^t}\,\, dt\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}+\int \frac{1}{ e^t}\,\, d \left(-\frac{\cos2t}{ 2}\right)\right]\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\frac{1}{2}\int \frac{1}{ e^t}\,\, d \left( \cos2t \right)\right]\stackrel{\bf(P)}{=}\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\cos2t}{ e^t}-\int\cos2t \,\, d \left( \frac{1}{ e^t} \right)\right)\right]\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\cos2t}{ e^t}+\int \frac{\cos2t}{ e^t} \,\, d t\right)\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}- \frac{\cos2t}{2 e^t}-\int \frac{\cos2t}{ 2e^t} \,\, d t \right]\\
\frac{5}{4}\int \frac{\cos 2t}{2e^t}\,\,dt&=\frac{1}{4}\left[\frac{ \sin 2t }{ e^t}- \frac{\cos2t}{2 e^t} \right]\\
\int \frac{\cos 2t}{2e^t}\,\,dt&= \frac{ \sin 2t }{ 5e^t}- \frac{\cos2t}{10 e^t} .
\end{align}
Per il secondo integrale basta osservare che:
\begin{align}
\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx&= \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\,\,dx =- \int \frac{d\left(cos x\right)}{\cos x \sqrt{\cos^2x-4\cos x}}\\
&\stackrel{\cos x=t}{=}- \int \frac{d t}{t \sqrt{t^2-4t}}=
\end{align}
"Noisemaker":
\[ \begin{align} -\int \frac{d t}{t \sqrt{t^2-4t}} = \end{align} \]
Fino a questo c'ero arrivato con la sostituzione, cp,e avevo detto: il problema è questo integrale! Lo provo per parti o esiste qualche formula di riduzione?
"Alfy88":
Fino a questo c'ero arrivato con la sostituzione, cp,e avevo detto: il problema è questo integrale! Lo provo per parti o esiste qualche formula di riduzione?
a si , e dove l 'hai scritto??
in ogni caso,
\begin{align}
\int \frac{dt}{t\sqrt{t^2-4t}}=\int \frac{dt}{t^{3/2}\sqrt{t-4}}= \int t^{-3/2} (t-4)^{-1/2}
\end{align}
a questo punto, considerandolo come un differenziale binomio, e poni
\begin{align}
\frac{ 1-4t}{t}=y^2\quad\to\quad t=\frac{1}{y^2+4}\quad\to\quad dt=\frac{-2y}{( y^2+4)^2}\,\,dy
\end{align}
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