Integrale indefinito

[bugger]

Ciao a tutti, sono ancora qui con un altro integrale, ma stavolta indefinito
$ \int (x^3+x-1)/(x^2+1)tan^-1dx $ posso sfruttare il fatto che compare l'arcotangente e la sua derivata? mentre il polinomio $x^3+x-1$ come lo tratto?

[Noisemaker]

farei cosi:
\begin{align}
\int\frac{x^3+x-1}{x^2+1}\cdot\arctan{x}\,\,dx&= \int \left(x-\frac{1}{x^2+1}\right)\cdot \arctan x\,\,dx= \int x\arctan x\,\,dx-\int\frac{\arctan x}{x^2+1} \,\,dx...
\end{align}

[bugger]

Scusa non ho ben capito cosa hai preso come $f(x)$ e $g'(x)$al primo passaggio.
$ f(x)=(x^3+x-1)tan^-1 $ e quindi $ f'(x)=(3x^2+1)tan^-1(x^3+x-1)/(x^2+1) $
$ g(x)=1/(1+x^2) $ e quindi $ g'(x)=tan^-1 $

e quindi il primo passaggio non è $ (x^3+x-1)arctan ^2 $ ??

[Noisemaker]

si si si hai ragione ... ho corretto!

[bugger]

Scusate ma non ci sto capendo nulla, allora, iniziano per pezzi
prendo $ f(x)= (x^3+x-1)arctanx $ e quindi $ f'(x)= (3x^2+1)arctanx +(x^3+x-1)/(x^2+1) $ e $ g' (x)=1/(1+x^2) $ e quindi $ g(x)=arctanx $
Dunque il primo passaggio mi viene

$ \int (x^3+x-1)/(x^2+1)tan^-1dx = (x^3+x-1)arctan^2x - int((3x^2+1)arctanx + (x^3+x-1)/(x^2+1))arctanx dx =$
$ = (x^3+x-1)arctan^2x -int(3x^2+1)arctan^2x+(x^3+x-1)/(x^2+1)arctanx dx =$
$ (x^3+x-1)arctan^2x - 3int x^2arctan^2xdx + int arctan^2xdx + int (x^3+x-1)/(x^2+1)arctanx dx $
fino a qui ci siamo?

[Noisemaker]

ho corretto ... quella strada non porta a nulla ....

[bugger]

Infatti, perche nell'ultimo integrale siamo di nuovo punto e a capo...

Allora ho provato a fare i passaggi, ditemi se va bene o meno
$ \int (x^3+x-1)/(x^2+1)tan^-1xdx = int (x-1/(1+x^2))arctanxdx $
$ = int xarctanxdx - int arctanx/(1+x^2) dx $
il primo lo faccio per parti
$ f(x)=arctanx $ e $ f'(x)=1/(1+x^2) $
$g'(x)=x$ e $g(x)=x^2/2$
e quindi viene
$ (x^2arctanx)/2 - 1/2 int x^2/(1+x^2) dx = (x^2arctanx)/2 - 1/2[int 1dx-int 1/(1+x^2)dx] $
$ = (x^2arctanx)/2 - x/2 +arctanx/2 + C$
il secondo lo faccio per sostituzione facendo questa sostutuzione $ t=arctanx $ e quindi $ dt=1/(1+x^2)dx $
$ int arctanx/(1+x^2) dx = int tdt = t^2/2 + C = (arctan^2x)/2 + C $
quindi mettendo tutto insieme viene
$ \int (x^3+x-1)/(x^2+1)tan^-1xdx = (x^2arctanx)/2 - x/2 +arctanx/2 - (arctan^2x)/2 + C $
$ =1/2(x^2arctanx - x + arctanx - arctan^2x) = 1/2((x^2+1-arctanx)arctanx + x) $
giusto? o ho sbagliato qualcosa?