Integrale indefinito

[ifiore93]

Scusate il disturbo,
non ho capito precisamente come si applica tale formula:
$ int (f(x))^alpha *f'(x)dx=(((f(x))^(alpha+1))/(alpha+1))+c$

Potreste chiarirmi le idee aiutandomi a svolgere questo esercizio:
$ int x^2 * root(3)(2x^3+1) dx$

Grazie in anticipo

[Noisemaker]

Quando la funzione integranda è del tipo
$$\displaystyle\int x^m\left(ax^n+b\right)^p\,\,dx
$$
dove $a, b$ sono costanti qualunque e $m,n,p$ sono numeri razionali (positivi o negativi), è stato dimostrato dal matematico Cebicef, che l'integrale differenziale binomio si razionalizza soltanto nei seguenti tre casi:

se $p$ è un numero intero ponendo

\begin{align}
x=t^k,\qquad \text{dove $k$ è il m.c.m.dei denominatori di $m$ ed $n;$}
\end{align}

se $\frac{m+1}{n}$ \`e un numero intero ponendo

\begin{align}
ax^n+b=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}

se $\frac{m+1}{n}+p$ è un numero intero ponendo

\begin{align}
\frac{ax^n+b}{x^n}=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}

[ifiore93]

Innanzitutto grazie per l'illustrazione teorica che mi hai dato,ma la mia domanda era incentrata su quella formula che ho scritto nella mia traccia.Vorrei capire come bisogna applicarla su un esercizio come quello proposto.

[Noisemaker]

la tua formula equivale a
\[\int [f(x)]^{\alpha}\cdot f'(x) \,\,dx=\int [f(x)]^{\alpha}d\left[(f(x))\right]\stackrel{f(x)=t}{=}\int t^{\alpha}\,\,dt\]

nel tuo caso

\begin{align}
\int x^2\sqrt[3]{2x^3+1}\,\,dx&=\int \sqrt[3]{2x^3+1}\,\,d\left(\frac{x^3}{3}\right)=\frac{1}{3}\int \sqrt[3]{2x^3+1}\,\,d\left( x^3 \right)\\
&=\frac{2}{3}\int \sqrt[3]{2x^3+1}\,\,d\left( 2x^3 \right)=\frac{2}{3}\int \sqrt[3]{2x^3+1}\,\,d\left( 2x^3+1 \right)\\
&\stackrel{2x^3+1 =t}{=}\frac{2}{3}\int \sqrt[3]{t}\,\,dt=\frac{2}{3}\int t^{\frac{1}{3}}\,\,dt=\frac{2}{3}\frac{t^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}\\
&\stackrel{2x^3+1 =t}{=}\frac{2}{3}\frac{ \sqrt[3]{\left(2x^3+1\right)^4}}{\frac{4}{3} }\\
&=\frac{ \sqrt[3]{\left(2x^3+1\right)^4}}{2}+c
\end{align}