Integrale indefinito:
$int (tanx)/(sqrt(cos(x)+1)+3)$ Ho riscritto tutto come: $int (sinx/((cosx)(sqrt(cosx+1))+3)))dx$ ora porto sinx nel differenziale, e pongo cosx=t ottenendo:
$int (1/(tsqrt(t+1)+3))dt$ ora pongo t+1=y ed ottengo ancora :
$int ((2y)/((y^2-1)(y+3))) dy$ Ora come procedo?
$int (1/(tsqrt(t+1)+3))dt$ ora pongo t+1=y ed ottengo ancora :
$int ((2y)/((y^2-1)(y+3))) dy$ Ora come procedo?
Risposte
Scomposizione in fratti semplici:
devi trovare $A,B,C in RR$ tali che ${2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = A/{y+1} +B/{y-1}+C/{y+3}$
PS: l'ultima sostituzione è $sqrt{t+1}=y$, non $t+1= y$, immagino.
devi trovare $A,B,C in RR$ tali che ${2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = A/{y+1} +B/{y-1}+C/{y+3}$
PS: l'ultima sostituzione è $sqrt{t+1}=y$, non $t+1= y$, immagino.
Si mi sono dimenticata la radice. Ottengo nell'identità tra polinomi:
2A+2B+2C=2
2A+4B=0
Ora come faccio?
2A+2B+2C=2
2A+4B=0
Ora come faccio?
C'è qualcosa che non va. Dovrebbero venirti tre equazioni.
Puoi scrivere i calcoli che hai fatto?
Puoi scrivere i calcoli che hai fatto?
Ay-A+Ay+3A+By+B+By+3B+Cy+C-C+Cy ... ho fatto il minimo comune multiplo...poi ho posto quelli con la y = a 2 e gli altri =0...dove sbaglio?
Puoi risparmiarti quel procedimento laborioso,in seguito:
con mezzi abbastanza semplici è osservabile che,necessariamente,
$A=lim_(y to -1)(2y)/((y-1)(y+3))=-1/2,B=lim_(y to 1)(2y)/((y+1)(y+3))=1/2,C=..=3/4$,
e,se vuoi,se ne riparla..
Saluti dal web.
con mezzi abbastanza semplici è osservabile che,necessariamente,
$A=lim_(y to -1)(2y)/((y-1)(y+3))=-1/2,B=lim_(y to 1)(2y)/((y+1)(y+3))=1/2,C=..=3/4$,
e,se vuoi,se ne riparla..
Saluti dal web.
Il minimo comune denominatore è $(y+1)(y-1)(y+3)$.
Quindi a numeratore devono venirti anche dei termini di secondo grado.
Quindi a numeratore devono venirti anche dei termini di secondo grado.
Theras come fai a fare così? cioè potresti spiegarmelo? e poi Gi8 potresti scrivermi i passaggi così capisco meglio? scusate se chiedo tanto!
${2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = A/{y+1} +B/{y-1}+C/{y+3} <=>$
$<=>{2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = { A(y-1)(y+3)+B(y+1)(y+3)+C(y+1)(y-1) }/{(y+1)(y-1)(y+3)}<=>$
$<=> {2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = { A(y^2+2y-3)+B(y^2+4y+3)+C(y^2-1) }/{(y+1)(y-1)(y+3)}<=>$
$<=> {2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = { y^2(A+B+C) +y(2A+4B)+(-3A+3B-C) }/{(y+1)(y-1)(y+3)}$
$<=>{2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = { A(y-1)(y+3)+B(y+1)(y+3)+C(y+1)(y-1) }/{(y+1)(y-1)(y+3)}<=>$
$<=> {2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = { A(y^2+2y-3)+B(y^2+4y+3)+C(y^2-1) }/{(y+1)(y-1)(y+3)}<=>$
$<=> {2y}/{(y+1)(y-1)(y+3)} = { y^2(A+B+C) +y(2A+4B)+(-3A+3B-C) }/{(y+1)(y-1)(y+3)}$
Prova a moltiplicare ambo i membri della decomposizione in fratti semplici scritta da G8 per $y+1$
($ne 0$,perchè altrimenti quell'uguaglianza non avrebbe neanche senso ..),
e poi passa al limite per $y to -1$ ambo i membri di quanto hai dedotto
(legittimo,perchè ai fini del calcolo d'un limite "non c'interessa" il comportamento della funzione argomento nel punto cui tende la sua variabile indipendente..):
cosa ottieni
?
E pensi si possa allargare questo procedimento alla ricerca delle altre costanti?
Se si,come?
Facci sapere,magari:
saluti dal web.
($ne 0$,perchè altrimenti quell'uguaglianza non avrebbe neanche senso ..),
e poi passa al limite per $y to -1$ ambo i membri di quanto hai dedotto
(legittimo,perchè ai fini del calcolo d'un limite "non c'interessa" il comportamento della funzione argomento nel punto cui tende la sua variabile indipendente..):
cosa ottieni
?E pensi si possa allargare questo procedimento alla ricerca delle altre costanti?
Se si,come?
Facci sapere,magari:
saluti dal web.
Gi8 Non mi è chiaro l'ultimo passaggio...
Theras non ho proprio capito cosa devo moltiplicare per (y+1)
Spiegati meglio: cosa non ti è chiaro?
Ho solo fatto i conti e raccolto prima tutti i termini con $y^2$, poi quelli con $y$ e infine tutti i termini noti.
Ho solo fatto i conti e raccolto prima tutti i termini con $y^2$, poi quelli con $y$ e infine tutti i termini noti.
Questo l'ho capito... dopo come faccio a ricavarmi le tre equazioni?
Siccome il polinomio $2y$ deve essere uguale al polinomio $ y^2(A+B+C) +y(2A+4B)+(-3A+3B-C) $,
tutti i coefficienti del primo polinomio devono essere uguali ai corrispondenti coefficienti del secondo polinomio.
Dunque ${(A+B+C=0),(2A+4B=2),(-3A+3B-C=0):}$
tutti i coefficienti del primo polinomio devono essere uguali ai corrispondenti coefficienti del secondo polinomio.
Dunque ${(A+B+C=0),(2A+4B=2),(-3A+3B-C=0):}$
Perfetto! grazie mille!
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