Integrale indefinito.

[Navarone89]

Salve a tutti ragazzi. Devo risolvere questo integrale indefinito :

$int e^(cose^x)e^xsqrt(1-cos^2(e^x))dx$

Ok, la mia idea è semplice se riuscissi a far valere l' uguaglianza $sine^x=sqrt(1-cos^2(e^x))$ avrei già risolto l' integrale. Il problema e che questa uguaglianza non è valida in tutto il dominio della funzione. Avete qualche consiglio da darmi su come procedere?

[Noisemaker]

\begin{align}
\int e^{\cos e^x}\cdot e^x\sqrt{1-\cos^2 e^x }\,\,\,dx&=\int e^{\cos e^x}\cdot \sqrt{1-\cos^2 e^x }\,\,\,d\left(e^x\right)\\
&\stackrel{e^x=t}{=}\int e^{\cos t}\cdot \sqrt{1-\cos^2 t }\,\,\,dt=\int e^{\cos t}\cdot \sin t\,\,\,dt=-\int e^{\cos t} \,\,\,d\left(\cos t\right)\\
&\stackrel{\cos t=y}{=} -\int e^{y} \,\,\,d y
\end{align}
e dovresti concludere...

[Navarone89]

Ciao, grazie per la risposta.

Non capisco solo una cosa, dopo aver posto $e^x=t$ come giustifichi la sostituzione da me citata nel precedente messaggio? Non sono uguali in tutto il loro campo di definizione..

[Noisemaker]

prima di tutto io non giudico mai niente e nessuno in secondo luogo la sostituzione che hai fatto tu è corretta , io ti ho fatto solo vedere i passaggi per dimostrare
\[\sqrt{1-\cos^2 e^x }=\sin e^x\]