Integrale indefinito
Non ho minimamente idea di come risolvere quest'integrale, qualcuno saprebbe aiutarmi?
int_ . (cos x) ln(cot x) dx
int_ . (cos x) ln(cot x) dx
Risposte
Potresti provare con le formule parametriche (ma non garantisco risultati positivi giacché non ho fatto i conti). Ricordando che \[\displaystyle \cos(x)=\frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \] \[\displaystyle \sin(x)=\frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2 (x/2)} \] e che quindi \[\displaystyle \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1- \tan^2 (x/2)}{2 \tan(x/2)} \] potresti vedere cosa ne esce operando la sostituzione \(\displaystyle t=\tan(x/2) \)...
le formule , altrimenti non si capisce nulla,
\[\int\cos x\ln \cot x\,\,dx=\int\cos x\ln \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\,\,dx \]
poni
\[\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad\cos x= \frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad dx=\frac{2dt}{1+t^2}\]
\[\int\cos x\ln \cot x\,\,dx=\int\cos x\ln \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\,\,dx \]
poni
\[\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad\cos x= \frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad dx=\frac{2dt}{1+t^2}\]
avevo già provato un questo modo, ma mi è sembrata una strada un po' impraticabile..
Butta giù i conti e poi si giudicherà se la strada è effettivamente impraticabile.
Forse è l'ora che mi rincretinisce, ma pensare a
$log(\frac{cos(x)}{sin(x)})=log(cos(x))-log(sin(x))$ e farne due di integrali?
A occhio, andando per parti e derivando il logaritmo ti potresti ritrovare un coseno o un seno al denominatore che potrebbe semplificare qualcosina...
'Notte ragazzi
$log(\frac{cos(x)}{sin(x)})=log(cos(x))-log(sin(x))$ e farne due di integrali?
A occhio, andando per parti e derivando il logaritmo ti potresti ritrovare un coseno o un seno al denominatore che potrebbe semplificare qualcosina...
'Notte ragazzi
mi sembra un'ottima idea, non ci avevo pensato, ora ci provo..
"Zero87":
Forse è l'ora che mi rincretinisce, ma pensare a
$log(\frac{cos(x)}{sin(x)})=log(cos(x))-log(sin(x))$ e farne due di integrali?
A occhio, andando per parti e derivando il logaritmo ti potresti ritrovare un coseno o un seno al denominatore che potrebbe semplificare qualcosina...
'Notte ragazzi
l'idea è ok
anche se uno dei due integrali lo calcoli quasi elementarmente, ma il secondo devi cmq usare le sostituzioni trigonometriche 
Ricordato che \(\cot x = 1/\tan x\), sicché \(\log \cot x = -\log \tan x\), puoi integrare per parti:
\[
-\int \underbrace{\cos x}_{f^\prime(x)}\ \underbrace{\log \tan x}_{g(x)}\ \text{d} x = -\sin x\ \log \tan x + \int \sin x\ \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\tan x}\ \text{d} x= -\sin x\ \log \tan x+ \int \frac{1}{\cos x}\ \text{d} x
\]
e l'ultimo integrale è noto o si calcola con le sostituzioni parametriche.
\[
-\int \underbrace{\cos x}_{f^\prime(x)}\ \underbrace{\log \tan x}_{g(x)}\ \text{d} x = -\sin x\ \log \tan x + \int \sin x\ \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\tan x}\ \text{d} x= -\sin x\ \log \tan x+ \int \frac{1}{\cos x}\ \text{d} x
\]
e l'ultimo integrale è noto o si calcola con le sostituzioni parametriche.
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