Integrale indefinito
Mi sapreste dire come si risolve un integrale del tipo
$int [(a-x)^2+b^2]^gamma dx$
$int [(a-x)^2+b^2]^gamma dx$
Risposte
Uhm..qualche tua idea?..posta qualche tuo tenativo di soluzione..
L'integrale assegnato, nel caso \(\gamma\) sia razionale, è un integrale binomio, i.e. del tipo:
\[
\int x^p (Ax^r+B)^s\ \text{d} x\; ;
\]
quindi esso è elementarmente integrabile solo nei casi previsti dal teorema di Tchebichev.
Per altri valori di \(\gamma\), "a occhio", direi che quell'integrale fa spuntar fuori qualche funzione gamma o qualche funzione ipergeometrica; si potrebbe cominciare a fare una sostituzione del tipo \(u=(x-a)^2/b^2\) e vedere cosa ne viene fuori.
\[
\int x^p (Ax^r+B)^s\ \text{d} x\; ;
\]
quindi esso è elementarmente integrabile solo nei casi previsti dal teorema di Tchebichev.
Per altri valori di \(\gamma\), "a occhio", direi che quell'integrale fa spuntar fuori qualche funzione gamma o qualche funzione ipergeometrica; si potrebbe cominciare a fare una sostituzione del tipo \(u=(x-a)^2/b^2\) e vedere cosa ne viene fuori.
Proviamo con un esempio:
$int [(x-s)^2+y^2]^(-3/2) ds$
Effettuando la sostituzione $u=x-s$ si ottiene il seguente integrale:
$-int [u^2+y^2]^(-3/2) du$
a questo punto penso che si debba effettuare una ulteriore sostituzione. Purtroppo non capisco quale.
$int [(x-s)^2+y^2]^(-3/2) ds$
Effettuando la sostituzione $u=x-s$ si ottiene il seguente integrale:
$-int [u^2+y^2]^(-3/2) du$
a questo punto penso che si debba effettuare una ulteriore sostituzione. Purtroppo non capisco quale.
Beh,un modo per scrivere la funzione integranda sotto la forma $1/((t^2+1)sqrt(t^2+1))$ lo trovi,dai;
a quel punto,seppur con qualche difficoltà legata a conti ad occhio lunghetti,
dovrebbe bastarti iniziare dalla posizione $sqrt(t^2+1)=t+z$ e proseguire in modo abbastanza naturale:
è un iter classico,quando s'integrano funzioni del tipo $f(t,sqrt(at^2+bt+c))" t.c. "Delta=b^2-4ac<0$..
Saluti dal web.
a quel punto,seppur con qualche difficoltà legata a conti ad occhio lunghetti,
dovrebbe bastarti iniziare dalla posizione $sqrt(t^2+1)=t+z$ e proseguire in modo abbastanza naturale:
è un iter classico,quando s'integrano funzioni del tipo $f(t,sqrt(at^2+bt+c))" t.c. "Delta=b^2-4ac<0$..
Saluti dal web.
"theras":
è un iter classico,quando s'integrano funzioni del tipo $f(t,sqrt(at^2+bt+c))" t.c. "Delta=b^2-4ac<0$..
Mi sapresti dire dove posso trovare degli appunti su tali sostituzioni notevoli?
Puoi trovare queste cose su un qualsiasi testo di Analisi I.
Se devo consigliarne uno, propendo per il Fiorenza & Greco, Lezioni di Analisi Matematica - volume primo, Liguori (1985), cap. 9, pagg. 474-488.
Se devo consigliarne uno, propendo per il Fiorenza & Greco, Lezioni di Analisi Matematica - volume primo, Liguori (1985), cap. 9, pagg. 474-488.
Perfetto. Grazie a tutti 
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